TS
Nombres complexes : forme algébrique
Calculs dans C
· Exercice 1
a) Soit z1= 3−2i, quelles sont les parties réelle et imagi- naire de l’inverse dez1?
b) Soit z2=1−4i
1 + 5i, écrirez2 sous sa forme algébrique.
c) Écrire les nombres suivants sous la formea+ib(aveca et bdeux réels).
1 +i√3
√3−i
1−i 1 +i
2
i+1 i.
Conjugué
· Exercice 2
a) Calculer le conjugué de z3= (3−2i)(5 +i) 3i(7 + 2i) .
b) Montrer que pour tout nombre complexe z non-nul z+1
z −1 +z
z =z−1 c) Soit z = 3−7i
9 + 2i et z′ = 3 + 7i
9−2i montrer sans calcul que z+z′ est un réel et quez−z′ est un imaginaire pur.
Équations diverses
· Exercice 3
Résoudre dansCl’équation : 1. 2z+ 3z= 5.
2. z2+ 2zz−3 = 0 3. z2+ 2z+ 1 = 0 4. iz2+ 2z−i= 0
5. Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
Ensemble de points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,−→u ,−→v).
· Exercice 4
Quel est l’ensemble des pointsM d’affixeztels que (z−1)2 soit :
a) réel ?
b) imaginaire pur ?
· Exercice 5
Déterminer et représenter l’ensemble des points M dont l’affixez vérifie
z+z+zz= 0.
Équations du second, troisième et quatrième degré
· Exercice 6
soitf la fonction définie surCpar f(z) =z2+z+ 1
1. Quelles sont les racines def?
2. Déterminer les nombres complexes invariants parf. 3. Quels sont les nombres complexes dont l’image parf est
un réel ?
· Exercice 7
Résoudre dansCles équations suivantes : 1. z2−2z+ 26 = 0
2. z4−8z−9 = 0.
· Exercice 8
Soit (E) l’équationz3−5z2+ 19z+ 25 = 0.
1. Montrer que−1 est une solution de (E).
2. Déterminer le réelatel que pour tout z∈Con ait z3−5z2+ 19z+ 25 = (z+ 1)(z2+az+ 25) 3. Résoudre l’équation (E) dansC.
· Exercice 9 À tout complexez
z6= 1
2
, on associe le complexeZ dé- fini par :
Z= z−2 2z−1
1. Déterminer les valeurs dez telles queZ =z.
2. Déterminer les valeurs dez telles queZ =−z.
3. Déterminer les valeurs dez telles que Z =z2(une des valeurs trouvées précédemment convient).
· Exercice 10 extrait Bac S 2008
Soit A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3−i et 2.
À tout pointM d’affixe z, on associe le point M′ d’affixe z′ telle quez′ =z2−4z.
1. Calculer les affixes des points A′ et B′, images respec- tives des points A et B. Que remarque-t-on ?
2. Déterminer les points qui ont pour image le point d’af- fixe−5.
3. Vérifier que pour tout nombre complexezon a : z′+ 4 = (z−2)2.
