Forme exponentielle des nombres Complexes.

Forme exponentielle des nombres Complexes.

Introduction (pseudo ROC) : on a vu en TD que la fonction vérifie les deux propriétés suivantes :

 f

(

)

( )

( )

 f¢

( )

( )

Ces propriétés rappellent celles de l’exponentielle : exp

(

)

( )

( )

( ( )

)

( )

D’où la Définition :

 pour tout réel q, on pose e^iq =cosq+isinq

 la forme exponentielle d’un nombre complexe est z=re^iq, où r est le module de z, et q _{est un} argument de z.

Remarques/propriétés :

 La forme exponentielle n’est qu’une écriture plus compacte de la forme trigonométrique : re^iq =r

(

)

 e^iq =1

et arg e

( )

^{[ ]}

 La notation est cohérente avec les propriétés de l’exponentielle, en effet les propriétés du cours sur les arguments donnent :

e^iq×e^iq¢=e^{i(q+ ¢q)} provient de argzz¢ºargz+argz¢

[ ]

e^iq¢ =e^{i(q- ¢q)}

provient de e^iq

( )

 e^iq =e^-iq provient de Théorème :

Formule de Moivre

(

)

Formules d’Euler cosq=e^iq+e^-iq

2 et sinq =e^iq-e^-iq 2i Démonstrations assez immédiates :



(

)

 En utilisant la parité des fonctions sinus et cosinus, détailler le calcul de : e^iq+e^-iq

2 =

e^iq -e^-iq

2i =

Exemple : cosp

4+isinp 4 æ

èç ö

ø÷

2017

=e²⁰¹⁷

p 4i

=e

p 4+252´2p æ

èç ö

ø÷i

=eⁱ

p

4 =cosp

4+isinp 4 = 2

2 +i 2 2 Applications :

 e^{i(q+ ¢q)} =e^iq ×e^iq¢ permet de retrouver

cos

(

)

sin

(

)



( )

cos 2

( )

( )

Ces calculs sont éventuellement à faire, pour comprendre la méthode (identification des parties réelles et imaginaires). Remarquez que ce n’est pas une preuve, puisqu’on a besoin des formules trigonométriques pour démontrer les propriétés sur les arguments, et non l’inverse.

Cours de Frédéric Mandon sous licence Creative Commons BY NC SA, https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/