Activit´e de math´ematiques
Nombres complexes et formules trigonom´etriques
1 Une formule remarquable
Soit θ un nombre r´eel, on lui associe le nombre complexe zθ = cosθ+isinθ.
1. D´emontrer la formule suivante pour α, β∈R : zαzβ =zα+β
2. En d´eduire les formules suivantes pour θ∈Retn∈N: zθz−θ = 1
(zθ)n = znθ
2 Application ` a la Lin´ earisation
1. Prouver pour tout nombre r´eel θ: cosθ= zθ+z−θ
2 sinθ= zθ−z−θ
2i 2. En d´eduire les formules suivantes :
cos2θ= 1 + cos 2θ
2 sin2θ= 1−cos 2θ
2 3. Prouver les relations suivantes :
cos3θ= 3 cosθ+ cos 3θ
4 sin3θ= 3 sinθ−sin 3θ
4
3 Application au calcul des Polynˆ omes de Tchebychev
1. D´evelopper zθ2 , en d´eduire que cos 2θ= cos2θ−sin2θ.
Prouver la formule suivante :
cos 2θ= 2X2−1 , X= cosθ 2. D´evelopper zθ3 , en d´eduire la formule suivante :
cos 3θ= 4X3−3X , X= cosθ 3. Exprimer cos 4θ sous la forme d’un polynˆome en X= cosθ.
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