Nombres complexes et formules trigonom

Activit´e de math´ematiques

Nombres complexes et formules trigonom´etriques

1 Une formule remarquable

Soit θ un nombre r´eel, on lui associe le nombre complexe z_θ = cosθ+isinθ.

1. D´emontrer la formule suivante pour α, β∈R : z_αz_β =z_α+β

2. En d´eduire les formules suivantes pour θ∈Retn∈N: z_θz_−θ = 1

(z_θ)ⁿ = z_nθ

2 Application ` a la Lin´ earisation

1. Prouver pour tout nombre r´eel θ: cosθ= z_θ+z_−θ

2 sinθ= z_θ−z_−θ

2i 2. En d´eduire les formules suivantes :

cos²θ= 1 + cos 2θ

2 sin²θ= 1−cos 2θ

2 3. Prouver les relations suivantes :

cos³θ= 3 cosθ+ cos 3θ

4 sin³θ= 3 sinθ−sin 3θ

4

3 Application au calcul des Polynˆ omes de Tchebychev

1. D´evelopper z_θ² , en d´eduire que cos 2θ= cos²θ−sin²θ.

Prouver la formule suivante :

cos 2θ= 2X²−1 , X= cosθ 2. D´evelopper z_θ³ , en d´eduire la formule suivante :

cos 3θ= 4X³−3X , X= cosθ 3. Exprimer cos 4θ sous la forme d’un polynˆome en X= cosθ.

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