Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚5
Nombres complexes et trigonom´ etrie (partie 2)
Exercice 19 (Calcul de quelques valeurs de cosinus et sinus) 1. Soient θ∈h
0,π 2
i. Montrer que :
cos θ
2
=
r1 + cos(θ)
2 et sin
θ 2
= s
1−cos2 θ
2
.
Indication : On pourra remarquer que 2×θ
2 =θ et appliquer une des formules de duplication pour ´etablir la premi`ere identit´e.
2. D´eduire de la question 1 les valeurs de cosπ 8
et sinπ 8
, puis celles de cosπ 16
et sinπ 16
. 3. D´eduire de la question 1 les valeurs de cosπ
12
et sinπ 12
, puis celles de cosπ 24
et sinπ 24
.
Exercice 20 (Lin´earisation d’une expression trigonom´etrique) 1. (a) Soitθ∈R. Lin´eariser cos4(θ).
(b) En d´eduire une primitive de la fonctionf:R→R; x7→cos4(x).
2. (a) Soitθ∈R. Lin´eariser sin6(θ).
(b) En d´eduire une primitive de la fonctiong:R→R; x7→sin6(x).
3. (a) Soitθ∈R. Lin´eariser sin4(θ) cos3(θ).
(b) En d´eduire une primitive de la fonctionh:R→R; x7→sin4(x) cos3(x).
Exercice 21 (Calcul de cos(π5)) 1. Soitθ∈R. Montrer que :
sin(5θ) = (16 cos(θ)4−12 cos(θ)2+ 1) sin(θ).
Indication : On pourra remarquer quesin(5θ) =Im(ei5θ)et appliquer la formule de Moivre.
2. R´esoudre l’´equation 16x4−12x2+ 1 = 0 d’inconnuex∈R. 3. En d´eduire que cosπ
5
=1 +√ 5 4 .
Indication : On pourra commencer par appliquer la formule obtenue en 1 `a un r´eelθjudicieusement choisi.
Exercice 22 (Calculs de quelques sommes trigonom´etriques) Soientt∈Retn∈N∗.
1. Calculer
n
X
k=0
sin(kt).
2. Calculer
n
X
k=0
n k
cos(kt).
3. Calculer
n
X
k=0
n k
(−1)ksin(kt).
1
Exercice 23 (Formes exponentielles)
1. Exprimer sous forme exponentielle les nombres complexes suivants.
z1=−1 +i ; z2= 1−√ 3i 1 +i
2. Soit (a, b)∈ ]0, π[2. Exprimer le nombre complexeeia+eib sous forme exponentielle.
Exercice 24 (Calculs de puissances) 1. Calculer 1−i√
3n
pour toutn∈N.
Le r´esultat sera pr´esent´e en distinguant plusieurs cas, suivant le reste de la division euclidienne de npar un entier `a d´eterminer.
2. D´eterminer les entiers naturelsntels que 1−i√ 3n
∈R.
Exercice 25 (´Equations du type acos(x) +bsin(x) =c de param`etre (a, b, c)∈R3, d’inconnue x∈R) 1. Soient (a, b)∈R2 tels queab6= 0 et soitx∈R. Justifier qu’il existe r∈R>0 etϕ∈Rtels que :
acos(x) +bsin(x) =rcos(x+ϕ).
2. R´esoudre l’´equation √
3 cos(x) + sin(x) = 2 d’inconnuex∈R.
3. R´esoudre l’´equation
cos(x) + 2 sin(x) = 3 d’inconnuex∈R.
Exercice 26 (Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul) D´eterminer les racines carr´ees des nombres complexes suivants.
z1=i ; z2= 2i−3 ; z3=√ 2 +i√
6.
Exercice 27 (´Equation du second degr´e `a coefficients complexes) 1. R´esoudre l’´equation
(E1) : z2+ 2z+ 3 = 0 d’inconnuez∈C.
2. R´esoudre l’´equation
(E2) : z2+ 2z−i= 0 d’inconnuez∈C.
2. R´esoudre l’´equation
(E3) : 2iz2+ (1 +i)z−1 = 0 d’inconnuez∈C.
3. Soitθ∈]0, π[.
(a) Justifier que l’´equation
(E4) : z2−2θ+1cos(θ)z+ 22θ= 0 d’inconnuez∈C, poss`ede deux solutions distinctes.
(b) Exprimer les deux solutions de (E4) sous forme trigonom´etrique.
(c) On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→u ,−→v) et on consid`ere les points A et B dont les affixes sont les solutions de (E). D´eterminerθde mani`ere `a ce queOAB soit un triangle ´equilat´eral.
2
Exercice 28 (Racinesn-i`emes d’un complexe (n∈N≥2))
1. On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→u ,−→v). Soitn∈N∗. Pour toutk∈N, on noteMk le point du plan d’affixe e2iπkn .
(a) Calculer la longueurMkMk+1 pour toutk∈N.
(b) En d´eduire une propri´et´e g´eom´etrique remarquable des n points du plan dont les affixes sont les racinesn-i`emes de l’unit´e.
2. D´eterminer les racines sixi`emes de l’unit´e et les repr´esenter graphiquement.
3. D´eterminer les racines cinqui`emes de iet les repr´esenter graphiquement.
4. D´eterminer les racines quatri`emes de
i 1 +i et les repr´esenter graphiquement.
Exercice 29 (Relations entre les coefficients et les racines d’un polynˆome de degr´e 2) 1. R´esoudre le syst`eme
(S1) :
a+b = 19 3 ab = 2 d’inconnue (a, b)∈C2.
2. R´esoudre le syst`eme
(S2) :
a3+b3 = 1−i (ab)3 = −i d’inconnue (a, b)∈C2.
Exercice 31 (Exponentielle complexe) 1. R´esoudre l’´equation
ez=−2 d’inconnuez∈C.
2. R´esoudre l’´equation
e2z+ (i−2)ez−2i= 0 d’inconnuez∈C.
3
