Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚3
Nombres complexes et trigonom´ etrie (partie 1)
Exercice 25 (Puissances successives de i)
1. Calculer i0, i1, i2,i3,i4,i5,i6,i7,i9,i10, puis conjecturer la valeur de in, pour toutn∈N.
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant le reste de la division enti`ere de l’entier naturel n par 4.
2. D´emontrer la conjecture ´enonc´ee en 1., par r´ecurrence.
Exercice 26 (Syst`eme2×2 `a coefficients complexes) Montrer que le syst`eme (S) :
(2 +i)z1 + (1 +i)z2 = 2 (3−i)z1 + iz2 = 2 +i d’inconnue (z1, z2)∈C2poss`ede un unique couple solution.
On donnera la forme alg´ebrique de chacune des composantes du couple solution de(S).
Exercice 27 (Racines carr´ees d’un nombres complexes et formes alg´ebriques) 1. D´eterminer les solutions de l’´equation
(E1) : z2=−3 + 4i d’inconnue z∈C.
2. D´eterminer les solutions de l’´equation
(E2) : z2= 16−30i d’inconnue z∈C.
Exercice 28 (Stabilit´e par conjugaison du spectre dansC d’un polynˆome `a coefficients r´eels) SoitP un polynˆome `a coefficients r´eels. Soitz∈C.
Montrer que siz est racine deP, alorszest ´egalement racine deP.
Exercice 29 (Identit´e du parall´elogramme) Soientz1, z2∈C.
1. Montrer que :
|z1+z2|2+|z1−z2|2= 2(|z1|2+|z2|2).
2. Interpr´eter g´eom´etriquement l’identit´e obtenue en 1..
Exercice 30 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu des modules et m´ediatrice) Soitz∈C. Montrer que :
|z−i|=|z+i| ⇔ z∈R.
On donnera d’abord une d´emonstration analytique de cette ´equivalence, puis on proposera un argument g´eom´etrique.
1
Exercice 31 (Couronne envoy´ee dans une autre par une homographie) Soitz∈Ctel que :
2≤ |z| ≤4.
Montrer que :
1 5 ≤
5−z i+z
≤9.
Exercice 32 (G´en´eralisation du cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e triangulaire) D´emontrer que pour tout n∈N≥2 :
(∀z1∈C∗) . . . (∀zn ∈C∗) (|z1+. . .+zn|=|z1|+. . .+|zn|)⇔((∀i∈ {2, . . . , n}) (∃λi∈R+) zi=λiz1)
| {z }
P(n)
Exercice 33 (Valeurs remarquables de cosinus, sinus, tangente d’angles moiti´es) 1. Calculer cosπ
8
, sinπ 8
, tanπ 8
. On pourra remarquer que2×π
8 =π 4. 2. Calculer cosπ
16
, sinπ 16
, tanπ 16
.
Exercice 34 (Une autre valeur remarquable de cosinus) Soitx0∈h
0,π 2 i
tel que :
cos(x0) =
√6 +√ 2
4 .
1. Calculer cos(2x0).
2. En d´eduire quex0est unique et donner sa valeur.
Exercice 35 ( ´Equations trigonom´etriques´el´ementaires) 1. R´esoudre surRl’´equation :
(E1) : √
2 cos(x) = 1.
2. R´esoudre suri
−π 2,π
2 h
l’´equation :
(E2) : tan(x) = 1.
3. R´esoudre surRl’´equation :
(E3) : sin(x) = sinπ 3 −x
. 4. R´esoudre surRl’´equation :
(E4) : sin(2x) = cos2(x).
5. R´esoudre sur [−π, π[ l’´equation :
(E5) : sin(x) + cos(x) = 1.
5. R´esoudre sur [−π, π[ l’´equation :
(E6) : 2 sin2(x) + cos(x)−1 = 0.
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