Nombres complexes et trigonom´ etrie

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis - Paris

Nombres complexes et trigonom´ etrie

TD4

Exercice 27

A tout point` M d’affixez6= 1, on associe le pointM⁰ d’affixez⁰ = z−1

1−z¯. Etablir que : |z⁰|= 1, z⁰−1 z−1 est r´eel et z⁰+ 1

z−1 est imaginaire pur. En d´eduire une construction g´eom´etrique du point M⁰.

Solution.

• |z⁰|= |z−1|

|1−z| = |z−1|

|1−z| = |z−1|

|1−z| = 1.

Le point M⁰ d’affixe z⁰ est sur le cercle unit´e.

• z⁰−1 z−1 =

z−1 1−z−1

z−1 = (z−1)−(1−z)

(1−z)(z−1) =− z+z−2

(z−1)(z−1) =−2Re(z)−2

|z−1|² ∈R.

Si on noteA le point d’affixe 1, on en d´eduit que les pointsA,M etM⁰ sont donc align´es.

• z⁰+ 1 z−1 =

z−1 1−z+ 1

z−1 = (z−1) + (1−z)

(1−z))(z−1) =− z−z

(z−1)(z−1) =−2iIm(z)

|z−1|² ∈iR.

Si on noteB le point d’affixe −1, on en d´eduit que le triangle AM⁰B est rectangle enM⁰.

On d´eduit de ces conditions (plus pr´ecis´ement des deux premi`eres conditions) que M⁰ est le point d’intersection de la droite (AM) avec le cercle unit´e.

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