Sup PCSI 2 — Colles n◦ 5 et 6 — Quinzaine du 11/10/20010 au 22/10/2010
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 R´ evisions
◮Trigonom´etrie circulaire (directe et r´eciproque).
◮Complexes : ´evaluation d’expression, r´esolution d’´equations.
◮Lin´earisation, calculs d’int´egrales.
2 Trigonom´ etrie hyperbolique
•Fonctions paires, fonctions impaires. Partie paire et partie impaire d’une fonction d´efinie sur un intervalle I centr´e en 0 : existence et unicit´e.
•◮D´efinition des fonctions sh, ch : ce sont les parties impaire et paire de la fonction exp. D´efinition de la fonc- tion th. ´Etude rapide : propri´et´es, variations, allure de la courbe repr´esentative. Formule ch2(x)−sh2(x) = 1.
• ◮ D´efinition des fonctions arg sh, arg ch et arg th ; propri´et´es, d´erivabilit´e, explicitation de la d´eriv´ee de chacune de ces fonctions ; variations, allure de la courbe repr´esentative. Les expressions logarithmiques de arg sh(x), arg ch(x) et arg th(x) ont ´et´e vues, mais ne sont pas exigibles.
3 Combinatoire
•Notation|X|pour le cardinal d’un ensembleX fini. Cardinal deE∪F,E×F,FE. Nombre d’injections de [[1,p]] dans [[1,n]] ; nombre de permutations de [[1,n]]. Nombre de k-parties d’un ensemble `a n´el´ements ; cardinal deP(E).
◮D´enombrements divers, manipulation de sommes faisant intervenir des coefficients binomiaux.
◮M´ethode du double d´ecompte pour ´etablir des identit´es.
4 Int´ egration
• La notion de fonction continue a ´et´e d´efinie sans recours `a la notion de limite : on a simplement ´enum´er´e une famille de fonctions continueshhde baseii, et donn´e des r`egles permettant de prouver qu’une fonction est continue (somme, produit, quotient, compos´ee).
•Les fonctions d´erivables sont continues. NotationsC(I,R),Cn(I,R) etC∞(I,R).
•D´efinition des primitives d’une fonction sur un intervalleI. On admet que toute fonction continue sur un intervalleI poss`ede des primitives sur cet intervalle. On montre que la diff´erence entre deux primitives def surI est constante.
L’int´egrale sur [a, b] d’une fonction continuef est d´efinie comme la variation sur [a, b] d’une primitive def sur cet intervalle ; cette variation ne d´epend pas de la primitive choisie.
•L’int´egrale ainsi d´efinie est lin´eaire et positive.
•Extension de la notation Z b
a
f(t)dtaux casa=b, puisa > b. Relation deChasles.
•Si f ∈ C¡
[a, b],R+¢ v´erifie
Z b
a
f(t)dt= 0, alorsf = 0 (sous r´eserve quea < b).
•In´egalit´e
¯
¯
¯
¯ Z b
a
f(t)dt
¯
¯
¯
¯ 6
Z b
a
¯¯f(t)¯
¯dt. Sia < b, on a l’´egalit´e ssif est de signe constant.
•In´egalit´e deCauchy-Schwarz; le cas d’´egalit´e a ´et´e vu, et est exigible.
•Formule d’int´egration par parties. Les ´etudiants doiventIMP ´ERATIVEMENT, lors de son application, exhiber deux fonctions de classeC1.
•Formule deTayloravec reste int´egral.
•In´egalit´e deTaylor-Lagrange.
◮Calculs pratiques, en particulier : int´egration par parties.
• Partage d’un intervalle. Sommes de Riemann. Si f ∈ C¡
[0,1],R), convergence (non exigible) de 1
n
n−1
X
k=0
f³k n
´vers Z 1
0
f(t)dt.
◮Applications `a des calculs de limites.
•◮Changement de variable.
[Colle 2010/05-06] Compos´e le 9 octobre 2010
