Sup PCSI 2 — Colle n◦ 7 et 8 — Quinzaine du 12/11 au 24/11
Les points marqu´es d’un •peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 D´ eriv´ ees successives
• Les notions de fonction d´erivable et de d´eriv´ee ont ´et´e d´efinies sans recours `a la notion de limite : on a simplement ´enum´er´e une famille de fonctions d´erivables hhde baseii, explicit´e leurs d´eriv´ees respectives, et donn´e des r`egles de d´erivation (somme, produit, quotient, compos´ee).
• D´efinition des d´eriv´ees successives, notation f(n); par d´efinition, f(n+1) est la d´eriv´ee n-i`eme de f0. D´emonstration des formules f(n+1) = (f(n))0 et (f(p))(q) = f(p+q). Fonctions de classe Dn, D∞ sur un intervalleI; exemples.
•Somme, produit (formule deLeibniz), quotient, composition de fonctions de classeDn ou de classeD∞:
´enonc´e et d´emonstration des th´eor`emes.
IExemples de calcul explicite de la d´eriv´ee n-i`eme d’une fonction, utilisant ´eventuellement la formule de Leibniz. Ont ´et´e vus en classe les calculs de dk
dxk(xn), dn dxn
1 x
et dn dxn
√x .
•On admet le th´eor`eme d’inversion des fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle, ainsi que le th´eor`eme d’existence de la d´eriv´ee def−1. On prouve la formule donnant cette d´eriv´ee.
•Une bijection de classeDn dont la d´eriv´ee ne s’annule pas poss`ede une bijection r´eciproque de classeDn.
2 Int´ egration
•La notion de fonction continue a ´et´e d´efinie sans recours `a la notion de limite : on a simplement ´enum´er´e une famille de fonctions continueshhde baseii, et donn´e des r`egles permettant de prouver qu’une fonction est continue (somme, produit, quotient, compos´ee).
•Les fonctions d´erivables sont continues. NotationsC(I,R),Cn(I,R) etC∞(I,R).
•D´efinition des primitives d’une fonction sur un intervalleI. On admet que toute fonction continue sur un intervalleI poss`ede des primitives sur cet intervalle. On montre que la diff´erence entre deux primitives def surI est constante.
L’int´egrale sur [a, b] d’une fonction continuef est d´efinie comme la variation sur [a, b] d’une primitive def sur cet intervalle ; cette variation ne d´epend pas de la primitive choisie.
•L’int´egrale ainsi d´efinie est lin´eaire et positive.
•Extension de la notation Z b
a
f(t)dtaux casa=b, puisa > b. Relation deChasles.
•Si f ∈ C [a, b],R+ v´erifie
Z b
a
f(t)dt= 0, alorsf = 0 (sous r´eserve quea < b).
•In´egalit´e
Z b
a
f(t)dt
6 Z b
a
f(t)
dt. Sia < b, on a l’´egalit´e ssif est de signe constant.
•In´egalit´e deCauchy-Schwarz; le cas d’´egalit´e a ´et´e vu, et est exigible.
•Formule d’int´egration par parties. Les ´etudiants doiventIMP ´ERATIVEMENT, lors de son application, exhiber deux fonctions de classeC1.
•Formule deTayloravec reste int´egral.
•In´egalit´e deTaylor-Lagrange.
ICalculs pratiques, en particulier : int´egration par parties.
• Partage d’un intervalle. Sommes de Riemann. Si f ∈ C [0,1],R), convergence (non exigible) de 1
n
n−1
X
k=0
fk n
vers Z 1
0
f(t)dt.
IApplications `a des calculs de limites.
•IChangement de variable.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : 89 AC : 15 CP : 130 BM : 187
