Sup PCSI 2 — Colle n◦ 5 et 6 — Quinzaine du 11/10 au 22/10
Les points marqu´es d’un •peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 R´ evisions : calculs
ILin´earisation, calculs d’int´egrales.
IRaisonnements par r´ecurrence, simplification de sommes.
2 Partie enti` ere
I Fonction hhpartie enti`ereii: d´efinitions ´equivalentes, notation, propri´et´es ´el´ementaires, exemples d’utili- sation.
3 D´ eriv´ ees successives
• Les notions de fonction d´erivable et de d´eriv´ee ont ´et´e d´efinies sans recours `a la notion de limite : on a simplement ´enum´er´e une famille de fonctions d´erivables hhde baseii, explicit´e leurs d´eriv´ees respectives, et donn´e des r`egles de d´erivation (somme, produit, quotient, compos´ee).
• D´efinition des d´eriv´ees successives, notation f(n); par d´efinition, f(n+1) est la d´eriv´ee n-i`eme de f0. D´emonstration des formules f(n+1) = (f(n))0 et (f(p))(q) = f(p+q). Fonctions de classe Dn, D∞ sur un intervalleI; exemples.
•Somme, produit (formule deLeibniz), quotient, composition de fonctions de classeDn ou de classeD∞:
´enonc´e et d´emonstration des th´eor`emes.
IExemples de calcul explicite de la d´eriv´ee n-i`eme d’une fonction, utilisant ´eventuellement la formule de Leibniz. Ont ´et´e vus en classe les calculs de dk
dxk(xn), dn dxn
1
x
et dn dxn
√x .
•On admet le th´eor`eme d’inversion des fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle, ainsi que le th´eor`eme d’existence de la d´eriv´ee def−1. On prouve la formule donnant cette d´eriv´ee.
•Une bijection de classeDn dont la d´eriv´ee ne s’annule pas poss`ede une bijection r´eciproque de classeDn.
4 Fonctions arcsin, arccos et arctan
I•D´efinition des fonctions arcsin, arccos et arctan ; d´erivabilit´e, explicitation de la d´eriv´ee de chacune de ces fonctions. Parit´e, valeurs usuelles. Allure des courbes repr´esentatives. Relation simple entre arcsin(x) et arccos(x).
5 Trigonom´ etrie hyperbolique
•Fonctions paires, fonctions impaires. Partie paire et partie impaire d’une fonction d´efinie sur un intervalle I centr´e en 0 : existence et unicit´e.
•ID´efinition des fonctions sh, ch : ce sont les parties impaire et paire de la fonction exp. D´efinition de la fonc- tion th. ´Etude rapide : propri´et´es, variations, allure de la courbe repr´esentative. Formule ch2(x)−sh2(x) = 1.
•ID´efinition des fonctions arg sh, arg ch et arg th ; propri´et´es, variations, allure de la courbe repr´esentative.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
CB : AC : 15 CP : 130 FT : 23
