3 Applications de la d´ eriv´ ee
3.1 Croissance et extremums relatifs Q.3.1
Etudier le signe de la fonction´ f(x) `a l’aide d’un tableau.
a) f(x) =(x+ 1)2(x+ 2)3(x+ 3)4 (x−3)5
b) f(x) =x2+ 5x+ 6 x2−25 c) f(x) =
√x−1(x−3)3 x+ 5 d) f(x) =(x−4) lnx
(x−8)2
Q.3.2
Connaissant le graphique de la fonctionf(x), construire le ta- bleau de signe def0(x) et esquisser un graphique de la fonction f0(x).
a)
1 1
x y
• •
•
• f(x)
b)
1 1
x y
• •
•
f(x)
Q.3.3
A partir du graphique de la fonction` f0(x), construire le ta- bleau de signe def0(x) et esquisser un graphique de la fonction f(x).
a)
1 1
x y
f0(x)
• •
b)
1 1
x y
f0(x)
• •
Q.3.4
Soit la fonctionf(x) =x3−6x2+ 9x+ 2.
a) La fonction f est-elle positive enx= 2 ?
b) La fonctionf est-elle croissante dans le voisinage dex= 2 ?
c) La fonction f est-elle croissante dans le voisinage dex= 5 ?
d) La fonctionf est-elle croissante dans l’intervalle [3, 6] ?
Q.3.5
Pour chacune des fonctions suivantes, faites un tableau de signe dey0(x) afin de d´eterminer les extremums relatifs de la fonctiony(x).
a) y= 4x3−3x+ 4 b) y= 2x4
c) y= x+ 2 3x−1 d) y=√
2x−1
e) y=x3−18x2+ 105x+ 41 f) y= x
x2+ 16
g) y= 3x5−25x3+ 60x−1 h) y= (x−2)2(x−3)
i) y=√3 x−3 j) y=x2+ 8
x−1 k) y=x2−1
x2+ 2 l) y= (2x−3)2/3
Q.3.6
Montrer, en utilisant le calcul diff´erentiel, que le sommet d’une parabole d’´equationy=ax2+bx+c se situe en
x=− b 2a.
Q.3.7
Trouver la valeur dexpour laquelle la croissance dey= 1 1 +x2 est la plus rapide.
3.2 Optimisation Q.3.8
Quelles sont les dimensions du rectangle d’aire maximale dont le p´erim`etre est de 36 m.
Q.3.9
Suite `a une ´etude, on d´etermine que la probabilit´e de gu´erison P d’une maladie grave d´epend de la dose administr´eex (en grammes) d’un m´edicament par la fonction
P(x) = 3√ x 4(x+ 1)
D´eterminer la quantit´e de ce m´edicament que l’on doit donner
`
a un patient afin de maximiser ses chances de gu´erison ?
Q.3.10
Une entreprise a d´etermin´e que le nombrexd’unit´es vendues chaque jour d´epend du prix de venteppar la fonction
x(p) = 1000−p Le coˆut de production dexunit´es est de
C(x) = 3000 + 20x
a) Exprimer le revenu R(x) de l’entreprise en fonction du nombre d’unit´es venduesx.
b) Exprimer le profitP(x) de l’entreprise en fonction du nombre d’unit´es venduesx.
c) Si la capacit´e maximale de production de l’entreprise est de 1000 unit´es par jour. Combien d’unit´es doit-elle produire pour maximiser son profit ?
d) Quel est le profit maximal de l’entreprise ?
e) `A quel prix doit-elle vendre chaque unit´e pour maximiser son profit ?
Q.3.11
On veut couper une corde de 200 cm en deux. L’une des deux parties servira `a former un carr´e et l’autre, `a former un cercle.
a) `A quelle longueur doit-on couper la corde pour que la somme des surfaces des figures soit minimale ?
b) `A quelle longueur doit-on couper la corde pour que la somme des surfaces des figures soit maximale ?
Q.3.12
On peut fabriquer une boˆıte sans couvercle en enlevant un carr´e de chaque coin d’une feuille de carton rectangulaire de dimensions 25 cm par 40 cm, puis en repliant chaque cˆot´e.
D´eterminer la mesurex des cˆot´es des carr´es afin de maximiser le volume de la boˆıte.
40cm
25cm
Q.3.13
D´eterminer les dimensions (reth) du cylindre dont le volume est fix´e `a 1024πm`etres cubes et dont l’aire totale est minimale.
Q.3.14
On forme un cˆone en supprimant un secteur d’un disque de rayon ´egal `a 20 cm.
20cm
20cm h
Quelle hauteurha le cˆone de volume maximal ainsi form´e ?
Q.3.15
On veut passer un fil ´electrique entre le pointAet le pointB.
La r´ealisation de ce projet implique un coˆut 800 $/km le long d’une route existante et de 1200 $/km autrement. D´eterminer la distanced(P,B) qui minimise le coˆut de ce projet.
route•P
• •
B A•
7km
11km
Q.3.16
Trouver les dimensions (x×y) du rectangle d’aire maximale que l’on peut inscrire entre l’axe desx, l’axe desyet la courbe d’´equationf(x) = (x−9)2.
x y
f(x)
Q.3.17
Trouver le point de la courbe def(x) = x+ 1
√x le plus pr`es du point (−1, 0).
Q.3.18
Trouver la hauteurhdu cylindre de volume maximale que l’on peut inscrire dans un cˆone circulaire droit de hauteur 12 et de rayon de la base 7.
Q.3.19
D´eterminer les dimensions (r eth) du cˆone circulaire droit de volume maximale que l’on peut inscrire dans une sph`ere de rayon 12.
Q.3.20
On veut imprimer sur une feuille de papier dont l’aire est de 2 m2 en laissant des marges de 10 cm en haut et en bas et de 8 cm sur les cˆot´es. Estimer (au cm pr`es) les dimensions de cette feuille pour que la surface imprim´ee soit maximale ?
Q.3.21
On sait que la r´esistance d’une poutre est proportionnelle au produit de sa base et du carr´e de sa hauteur. Quelle sont les dimensions de la poutre la plus r´esistante que l’on peut tailler d’un tronc d’arbre de 30 cm de diam`etre ?
3.3 Concavit´ e et points d’inflexion Q.3.22
Esquisser la courbe d’une fonction ayant les propri´et´es sui- vantes.
a) f est concave vers le haut et croissante surR. b) f est concave vers le bas et croissante surR.
c) f est concave vers le haut et d´ecroissante surR. d) f est concave vers le bas et d´ecroissante surR.
Q.3.23
En se r´ef´erant au graphique def(x), d´eterminer les signes de f0(x) et def00(x) aux points A,B,C etD.
x y
f(x)
A•
B
•
C
•
•D
Q.3.24
En se r´ef´erant au graphique def0(x), d´eterminer les signes de f0(x) et def00(x) aux points A,B,C etD.
x y
f0(x)
A•
B•
C
•
•D
Q.3.25
R´epondre aux questions suivantes selon le graphique de y=f(x) ci-dessous.
x y
•
•
•
•
a) Donner les domaines def(x) et de f0(x).
b) Trouver les intervalles o`uf est croissante.
c) Trouver les intervalles o`uf est d´ecroissante.
d) Trouver les intervalles o`uf est concave vers le haut.
e) Trouver les intervalles o`uf est concave vers le bas.
f) Trouver valeurs dexo`u f a un maximum relatif.
g) Trouver valeurs dexo`u f a un minimum relatif.
h) Trouver valeurs dexo`u f a un point d’inflexion.
Q.3.26
R´epondre aux questions suivantes selon le graphique de y=f(x) ci-dessous.
x y
x=−1
• •
•
a) Donner les domaines def(x) et de f0(x).
b) Trouver les intervalles o`uf est croissante.
c) Trouver les intervalles o`uf est d´ecroissante.
d) Trouver les intervalles o`uf est concave vers le haut.
e) Trouver les intervalles o`uf est concave vers le bas.
f) Trouver valeurs dexo`u f a un maximum relatif.
g) Trouver valeurs dexo`u f a un minimum relatif.
h) Trouver valeurs dexo`u f a un point d’inflexion.
Q.3.27
Etudier la concavit´´ e et trouver les points d’inflexion de chacune des fonctions suivantes.
a) f(x) = 5−(x−7)4 b) f(x) = 2x6−5x4+ 1 c) f(x) =√3
3x+ 1−7
d) f(x) = 1−(x−4)23 e) f(x) = (1−2x)3(2x−3)
Q.3.28
Utiliser, si possible, le test de la d´eriv´ee seconde pour trouver les extremums relatifs des fonctions suivantes.
a) y= 2x2−x+ 8 b) y=x3−1
c) y=x3−15x2−33x
d) y=x4−6x2+ 1 e) y= x2
x+ 1
3.4 Etudes compl` ´ etes de fonctions Q.3.29
Pour chacune des fonctions suivantes, faire une ´etude compl`ete de la fonctionf(x).
• Domaine et signe def(s) ;
• Croissamce def(x) et minimum/maximum relatifs ;
• Concavit´e def(x) et points d’inflexion ;
• Asymptote def(x) ;
• Graphe def(x).
a) f(x) = 2x(4−x)3 b) f(x) =x3+ 3
x
c) f(x) = −x2 x2+ 1 d) f(x) = x3+ 1
x
e) y= (x−3)√ 9 +x f) f(x) = x
x2−4
g) f(x) = (5−x)23 + 3 h) f(x) =√3
5−x+ 3
i) f(x) =2x2−8 x2−1 j) y= (x−2)2+ 1
(x−2)2 k) f(x) = −2x
√x2−1 l) f(x) = (x−1)23(x−6)
3.5 Extremums absolus Q.3.30
Trouver les minimums et les maximums absolus des fonctions suivantes dans l’intervalle donn´e.
a) y= 5x2+ 8x−4 sur [1,3]
b) y=p
x2−1 sur [2,4]
c) y= x2
1−x sur [0,3]
d) y= 3x4+ 16x3+ 6x2−72x+ 1 sur [−4,4]
e) y= 4−x
6x+ 1 sur [0,3]
f) y= x−3
2x−1 sur [−1,1]
g) y= 2x3+ 3x2−36x+ 7 sur [−4,4]
h) y= 2x2+x+ 8
x sur [−1,3]
i) y= (x−2)2(x−3) sur [−2,5]
j) y= x2+ 8
x−1 sur [1,∞[
k) y= (2x−3)2/3 surR l) y= 1
√x−2 sur [3,∞[
R´ eponses aux exercices
R.3.1
a) x −∞ -3 -2 -1 3 +∞
f + 0 + 0 - 0 - @ +
b) x −∞ -5 -3 -2 5 +∞
f + @ - 0 + 0 - @ +
c) x −∞ 1 3 +∞
f @ 0 - 0 +
d) x −∞ 0 1 4 8 +∞
f @ @ + 0 - 0 + @ +
R.3.2
a)
x −∞ −7 −5 −2 3 +∞
f0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
f % max & min % max & min %
1 1
x y
f0(x)
• • • •
b)
x −∞ −2 0 2 +∞
f0 - @ + 0 - @ +
f & min % max & min %
1 1
x y
f0(x)
Soulignons le fait que les valeurs ”y”que prend la fonctionf0(x) ne sont qu’ˆetre approximatives, d’o`u l’absence de graduation sur cet axe.
R.3.3
a)
x −∞ −3 2 +∞
f0 - 0 + 0 -
f & min % max &
2
-3 x
y
f(x)
•
•
b)
x −∞ −2 1 +∞
f0 - 0 - 0 +
f & autre & min %
1
-2 x
y
•
•
R.3.4
a) Oui b) Non c) Oui d) Oui
R.3.5
a) y0= 12x2−3 = 3(2x+ 1)(2x−1)
x −∞ −1
2
1
2 +∞
f0 + 0 - 0 +
f % max & min % b) y0= 8x3
x −∞ 0 +∞
f0 - 0 +
f & min % c) y0= −7
(3x−1)2 <0
Toujours d´ecroissante, aucun max/min relatif.
d) y0= 1
√2x−1>0
Toujours croissante, min relatif en (1/2,0).
e) y0= 3(x−5)(x−7)
x −∞ 5 7 +∞
f0 + 0 - 0 +
f % max & min % f) y0= (4 +x)(4−x)
(x2+ 16)2
x −∞ −4 4 +∞
f0 - 0 + 0 -
f & min % max &
g) y0= 15(x+ 2)(x−2)(x+ 1)(x−1)
x −∞ −2 −1 1 2 +∞
f0 + 0 - 0 + 0 - 0 +
f % max & min % max & min % h) y0= (x−2)(3x−8)
x −∞ 2 8/3 +∞
f0 + 0 - 0 +
f % max & min % i) y0= 1
3p3
(x−3)2 >0, si x6= 3
Toujours croissante, aucun max/min relatif.
j) y0= (x−4)(x+ 2) (x−1)2
x −∞ −2 1 4 +∞
f0 + 0 - @ - 0 +
f % max & @ & min % k) y0= 6x
(x2+ 2)2
x −∞ 0 +∞
f0 - 0 +
f & min % l) y0= 4
3√3 2x−3
x −∞ 3/2 +∞
f0 - @ +
f & min %
R.3.6
On a
y0= 2ax+b= 0 si et seulement si
x=− b 2a.
R.3.7
On ay0= −2x
(1 +x2)2 ety00=−2(1−3x)2 (1 +x2)3 , d’o`u
x −∞ −1/√
3 1/√
3 +∞
f00 + 0 - 0 +
f0 % max & min %
On conclut que la croissance dey(x) est maximale enx=−1/√ 3, car c’est en ce point que la pentey0est la plus grande.
R.3.8 Un carr´e dont les cˆot´es mesurent 9 m.
R.3.9 1 gramme, pour une probabilit´e de 3/8.
R.3.10
a) R(x) = 1000x−x2 b) P(x) =−x2+ 980x−3000
c) 490 unit´es.
d) 237 100 $ par jour.
e) 510 $.
R.3.11
a) 112 cm pour faire le carr´e et 88 cm pour le cercle.
b) Il est pr´ef´erable de ne pas couper la corde et de ne faire que le cercle.
R.3.12 On a 0< x <25/2 avec
V =x(40−2x)(25−2x) et V0(x) = 4(x−5)(3x−50) DoncV0= 0 six= 5, car on doit rejeterx= 50/3>25/2.
R.3.13 On a A= 2π
r2+1024 r
et A0 =4π(r3−512) r2 Donc A0= 0 lorsque r= 8m et h= 16m.
R.3.14
Posonsrle rayon du cˆone. On obtient avec Pythagore h2+r2= 202 ⇔r2= 400−h2 d’o`u
V =π(400−h2)h et V0=π(400−3h2) Donc V0= 0, lorsqueh= 20
√3 cm.
R.3.15 d(P,B) = 4.74 km
R.3.16 Le point (x, f(x) est sur la courbe, d’o`u A=x(x−9)2 et A0= (x−9)(3x−9).
Donc A0= 0 lorsque x= 3 et y= 36.
R.3.17 1 2,3√
2 2
!
R.3.18 Les triangles sont proportionnels (AAA), d’o`u
r 7−r 12−h
h
7
12 =7−r h
et h=12
7 (7−r)
On a doncr=14
3 et h= 4, puisque V(r) = 12π
7 r2(7−r) et V0(r) =12π
7 (14r−3r2) R.3.19
12
•
y r 12
h= 12 +y
et
r2+y2= 122 On a donch= 16m etr=√
128m, puisque
V(y) = πr2h 3 = π
3(144−y2)(12+y), V0(y) =−3(y−4)(y+12) R.3.20 Posonsxety les dimensions de la feuille de sorte quex= 2/y. L’aireAde la r´egion imprim´ee est ainsi donn´ee par
A= (2/y−0.16)(y−0.2) et A0 =−2(2y2−5) 25y2 Donc y=
r8
2m≈126cm et y= r5
2m≈158cm R.3.21 On a x2+y2= 302et
R(x) =x(900−x2) et R0(x) = 900−3x2 doncx= 10√
3 cm ety= 10√ 6 cm.
R.3.22
a)
x y
b)
x y
c)
x y
d)
x y
R.3.23
A B C D
f0 - - 0 +
f00 + 0 + + R.3.24
A B C D
f0 + 0 - + f00 - - 0 + R.3.25
a) Df =R,D0f =R\ {6}
b) [−1,4] et [6,∞[
c) ]− ∞,−1] et [4,6]
d) ]− ∞,2] et [6,∞[
e) [2,6]
f) x= 4
g) x=−1 etx= 6 h) x= 2 etx= 6 R.3.26
a) Df =R\ {−1}, D0f =R\ {−1,4}
b) [−3,−1], [−1,2] et [4,∞[
c) ]− ∞,−3] et [2,4]
d) ]− ∞,−1[
e) ]−1,4[ et ],4,∞[
f) x= 2
g) x=−3 etx= 4 h) Aucun point d’inflexion R.3.27
a) f0(x) =−4(x−7)3et f00(x) =−12(x−7)2<0 Concave vers le bas surR;
Aucun point d’inflexion.
b) f0(x) = 12x5−20x3 etf00(x) = 60x2(x+ 1)(x−1)
x -∞ -1 0 1 +∞
f00 + 0 - 0 - 0 +
f ^ P.I _ _ P.I ^
c) f0(x) = 1 p3
(3x+ 1)2 etf0(x) = −2 p3
(3x+ 1)5 x -∞ -1/3 +∞
f00 + @ -
f ^ P.I _
d) f0(x) = −2 3√3
x−4 etf00(x) = 2 9p3
(x−4)4 >0
Concave vers le haut sur ]− ∞,4] et sur [4,∞[ ; Aucun point d’inflexion.
e) f0(x) =−4(1−2x)2(4x−5) etf00(x) = 96(1−2x)(x−1)
x -∞ 1/2 1 +∞
f00 - 0 + 0 -
f _ P.I ^ P.I _
R.3.28
a) Minimum relatif en (1/4,63/8).
b) Aucun extremum relatif.
c) Minimum relatif en (11,−847) ; Maximum relatif en (−1,17) d) Minimums relatifs en (−√
3,−8) et (√ 3,−8) ; Maximum relatif en (0,1)
e) Minimum relatif en (0,0) ; Maximum relatif en (−2,−4) R.3.29
a) • Signe def(x) = 2x(4−x)3 Df=R
x −∞ 0 4 +∞
f - 0 + 0 -
• Croissance def(x) avecf0(x) = 8(4−x)2(1−x)
x −∞ 1 4 +∞
f0 + 0 - 0 -
f % Max & &
• Concavit´e def(x) avecf00(x) =−24(4−x)(2−x)
x −∞ 2 4 +∞
f00 - 0 + 0 -
f _ P.I ^ P.I _
• Aucune asymptote.
x y
(1,•54)
•(2,32)
• (4,0)
Maximum relatif en (1,54) ; Aucun minimum relatif ;
Points d’inflexion en (2,32) et (4,0).
b) • Signe def(x) =x3+3
x; Df =R\ {0}
x −∞ 0 +∞
f - @ +
• Croissance def(x) avecf0(x) =3(x4−1) x2
x −∞ -1 0 1 +∞
f0 + 0 - @ - 0 +
f % Max & @ & Min &
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = 6(x4+ 1) x3
x −∞ 0 +∞
f00 - @ +
f _ @ ^
• A.V. enx= 0 car lim
x→0±f(x) = 3
0± =±∞; Aucune A.H. car lim
x→±∞f(x) =±∞;
x y
•(1,4)
• (−1,−4)
Maximum relatif en (1,4) ; Minimum relatif en (−1,−4) ; Aucun point d’inflexion.
c) • Signe def(x) = −x2
x2+ 1 Df=R
x −∞ 0 +∞
f - 0 -
• Croissance def(x) avecf0(x) = −2x (x2+ 1)2
x −∞ 0 +∞
f0 + 0 -
f % Max &
• Concavit´e def(x) avecf00(x) =−2(1−3x2) (x2+ 1)3
x −∞ −1/√
3 1/√
3 +∞
f00 + 0 - 0 +
f ^ P.I _ P.I ^
• Aucune A.V.
A.H. eny=−1 car lim
x→±∞
−x2 x2+ 1=−1 ;
x y
y=−1
•(0,0)
•
(−1/√
3,−1/4) •(1/√ 3,−1/4)
Maximum relatif en (0,0) ; Aucun minimum relatif ; Points d’inflexion en (−1/√
3,−1/4) et (1/√ 3,−1/4) d) • Signe def(x) = x3+ 1
x Df =R\ {0}
x −∞ -1 0 +∞
f + 0 - @ +
• Croissance def(x) avecf0(x) = 2x3−1 x2
x −∞ 0 1/√3
2 +∞
f0 - @ - 0 +
f & @ & Min %
• Concavit´e def(x) avecf00(x) =2(x3+ 1) x3
x −∞ −1 0 +∞
f00 + 0 - @ +
f ^ P.I _ @ ^
• A.V. enx= 0 car lim
x→0±
f(x) = 1 0 =±∞; Aucune A.H.
x
x= 0
• (−1,0)
•(1/√3 2,3√3
2/2)
Aucun maximum relatif ; Minimum relatif en (1/√3
2,3√3 2/2) ; Points d’inflexion en (−1,0)
e) • Signe def(x) = (x−3)√
9 +x Df = [−9,+∞
x -9 3 +∞
f 0 - 0 +
• Croissance def(x) avecf0(x) = 3(x+ 5) 2√
9 +x
x -9 -5 +∞
f0 @ - 0 +
f Max & Min %
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = 3(x+ 13) 4p
(9 +x)3 Toujours concave vers le haut carf00>0 ∀x∈Df
• Aucune A.V. et aucune A.H.
x y
• (3,0) (−9,0)•
• (−5,−16)
Maximum relatif en (−9,0) ; Minimum relatif en (−5,−16) ; Aucun point d’inflexion.
f) • Signe def(x) = x
x2−4 Df =R\ {−2,2}
x −∞ -2 0 2 +∞
f - @ + 0 - @ +
• Croissance def(x) avecf0(x) = −(x2+ 4) (x2−4)2 <0 On remarque quef(x) est d´ecroissante, six∈Df.
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = 2x(x2+ 12) (x2−4)3
x −∞ -2 0 2 +∞
f00 - @ + 0 - @ +
f _ A.V. ^ P.I _ A.V. ^
• A.V. enx=±2 car lim
x→±2
x x2−4 =±2
0 =±∞; A.H. eny= 0 car lim
x→±∞
x x2−4 = 0 ;
x y
x=−2 x= 2
•(0,0)
Aucun maximum relatif ; Aucun minimum relatif ; Point d’inflexion en (0,0).
g) • Signe def(x) = (5−x)2/3+ 3 Df =R
On remarque quef(x) est toujours positive.
• Croissance def(x) avecf0(x) = −2 3√3
5−x
x −∞ 5 +∞
f0 - @ +
f & Min %
On conclut quef(x) a un pic (la tangente est verticale) enx= 5, puisque
f0(5) =−2 0 =±∞
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = −2 9p3
(5−x)4 <0 On remarque quef(x) est concave vers le bas six6= 5.
• Aucune A.V. et aucune A.H.
x y
• (5,3)
Aucun maximum relatif ; Minimum relatif en (5,3) ; Aucun point d’inflexion h) • Signe def(x) = √3
5−x+ 3>0 Df =R
x −∞ 32 +∞
f + 0 -
• Croissance def(x) avecf0(x) = −1 3p3
(5−x)2 <0
x −∞ 5 +∞
f0 - @ -
f & ? ? &
On conclut que la tangente est verticale enx= 5, puisquef(x) est d´ecroissante (aucun pic) et
f0(5) =−1 0 =±∞
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = −2 9p3
(5−x)5
x −∞ 5 +∞
f00 - @ +
f _ P.I ^
• Aucune A.V. et aucune A.H.
x y
•(5,3) (32,0)•
Aucun maximum relatif ; Aucun minimum relatif ; Point d’inflexion en (5,3)
i) • Signe def(x) = 2x2−8
x2−1 Df =R\ {−1,1}
x −∞ -2 -1 1 2 +∞
f + 0 - @ + @ - 0 +
• Croissance def(x) avecf0(x) = 12x (x2−1)2
x −∞ -1 0 1 +∞
f0 - @ - 0 + @ +
f & A.V. & Min % A.V. %
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = −12(3x2+ 1) (x2−1)3
x −∞ -1 1 +∞
f00 - @ + @ -
f _ A.V. ^ A.V. _
• A.V. enx=±1 car, lim
x→±1
2x2−1 x2−1 =−6
0 =±∞.
A.H. eny= 2 car, lim
x→±∞
2x2−1 x2−1 = 2.
x y
x=−1 x= 1
y= 2
•
(−2,0) •
(2,0) (0,8)
•
Aucun maximum relatif ; Minimum relatif en (0,8) ; Aucun point d’inflexion.
j) • Signe def(x) = (x−2)2+ 1 (x−2)2 >0, Df=R\ {2}
On remarque quef(x) est positive six6= 2.
• Croissance def(x) avecf0(x) = 2(x−2)− 2 (x−2)3
x −∞ 1 2 3 +∞
f0 - 0 + @ - 0 +
f & Min % @ & Min %
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = 2 + 6 (x−2)4
On conclut quef(x) est concave vers le haut six6= 0.
• A.V. enx= 2, car
x→2lim(x−2)2+ 1 (x−2)2 =1
0=±∞
x y
x= 2 (1,2)
•
(3,2)
•
Aucun maximum relatif ;
Minimum relatif en (1,2) et (3,2) ; Aucun point d’inflexion.
k) • Signe def(x) = −2x
√ x2−1 On a Df =−∞,−1[∩]1,+∞
x −∞ -1 1 +∞
f + @ @ @ -
• Croissance def(x) avecf0(x) = 2 p(x2−1)3
x −∞ -1 1 +∞
f0 + @ @ @ +
f % A.V. @ A.V. %
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = −6x) p(x2−1)5
x −∞ -1 1 +∞
f00 - @ @ @ +
f _ A.V. @ A.V. ^
• A.V. enx=±1 car, lim
x→±1
√−2x
x2−1 =±1 0 =±∞.
A.H. eny= 2 six→ −∞et A.H. eny=−2 six→+∞car,
px2−1≈ |x|, lorsquexest grand.
x y
x=−1 x= 1
y= 2
y=−2
Aucun maximum relatif ; Aucun minimum relatif ; Aucun point d’inflexion.
l) • Signe def(x) = (x−2)2/3(x−6), Df=R
x −∞ 1 6 +∞
f - 0 - 0 +
• Croissance def(x) avecf0(x) = 5(x−3) 3√3
x−1
x −∞ 1 3 +∞
f0 + @ - 0 +
f % Max & Min %
On conclut quef(x) a un pic enx= 1 (la tangente est verticale), puisque
f0(1) n’existe pas bien que 1∈Df.
• Concavit´e def(x) avecf00(x) = 10x 9p3
(x−1)4
x −∞ 0 1 +∞
f0 - 0 + @ +
f _ P.I. ^ ? ? ^
• Aucune asymptote
x y
(1,0)
•
(6,0)
•
(3,−3√3 4)
• (0,−3)•
Maximum relatif en (1,0) ; Minimum relatif en (3,−3√3
4) ; Point d’inflexion en (0,−3).
R.3.30
a) Minimum (1,9), maximum (3,65).
b) Minimum (2,√
3), maximum (4,√ 15).
c) Aucun extremum.
d) Minimum (1,−46), maximum (4,1601).
e) Minimum = (3,1/19), maximum (0,4).
f) Aucun extremum.
g) Minimum (2,−37), maximum (−3,88).
h) Aucun extremum.
i) Minimum (−2,−80), maximum (5,18).
j) Minimum (4,8), aucun maximum.
k) Minimum (1.5,0), aucun maximum.
l) Maximum (3,1), aucun minimum.
