On doit trouver une expression pour la longueur de la corde l(s

PHENOMENES NON-LINEAIRES ET CHAOS

Corrig ´ e de la s ´ erie 1: Fonctions g ´ en ´ eratrices

Exercice 1 Billard (Stade de Bunimovich)

On doit trouver une expression pour la longueur de la corde l(s

n

, s

n+1

) entre deux points s

n

et s

_n+1

situ´es sur le bord ∂Q du billard.

Soit (X(s), Y (s)) les coordonn´ees cart´esiennes qui d´ecrivent ∂Q alors l(s

n

, s

_n+1

) =

[X(s

_n+1

) − X(s

n

)]

²

+ [Y (s

_n+1

) − Y (s

n

)]

²

1 2

ceci donne

∂l(s

n

, s

n+1

)

∂s

n

= 1

l(s

n

, s

_n+1

) {[X(s

n+1

) − X(s

n

)] ∂

sⁿ

(−X(s

n

))

+ [Y (s

n+1

) − Y (s

n

)] ∂

sⁿ

(−Y (s

n

))} (1) Il s’agit de montrer que ceci est ´egal ` a u

n

= − cos Θ

n

.

La direction de la droite r est

∂

sn

X(s

n

)

∂

sⁿ

Y (s

n

)

= ~n et l’ ´equation de cette droite est:

r :

X(α) = X(s

n

) + ∂

sn

X(s

n

) α

Y (α) = Y (s

n

) + ∂

sn

Y (s

n

) α , α > 0 Pour la droite ρ, la direction est

Y (s

n

) − Y (s

n+1

) X(s

n+1

) − X(s

n

)

=

−∆Y

∆X

= ~n car il s’agit de la perpendiculaire ` a la droite qui contient le segment l(s

n

, s

_n+1

). Donc l’

´equation de la droite est:

ρ :

X(β) = X(s

n+1

) − ∆Y β

Y (β) = Y (s

_n+1

) + ∆X β , β > 0

Consid´erons maintenant l’intersection entre r et ρ, on a le syst` eme suivant:

X(s

n

) + ∂

sn

X(s

n

) α

T

= X(s

n+1

) − ∆Y β

T

Y (s

n

) + ∂

sn

Y (s

n

) α

T

= Y (s

n+1

) + ∆X β

T

= ⇒

(∆X)

²

= ∂

sn

X(s

n

)∆Xα

T

+ ∆Y ∆Xβ

T

(∆Y )

²

= ∂

sⁿ

Y (s

n

)∆Y α

T

− ∆X∆Y β

T

= ⇒ l

²

(s

n

, s

n+1

) = α

T

{∂

sn

X(s

n

)∆X + ∂

sn

Y (s

n

)∆Y } (2) La distance entre le point (X(s

n

), Y (s

n

)) et T , not´ee r

n

est

r

²_n

= [X

T

− X(s

n

)]

²

+ [Y

T

− Y (s

n

)]

²

soit en utilisant l’´equation de la droite r avec α = α

T

,

r

_n²

= α

_T²

[∂

sn

X(s

n

)]

²

+ [∂

sn

y(s

n

)]

²

Il est clair que l(s

n

, s

n+1

) = cos Θ

n

r

n

, ainsi

cos Θ

n

= l(s

n

, s

_n+1

) α

T

[∂

sⁿ

X(s

n

)]

²

+ [∂

sⁿ

Y (s

n

)]

²

1 2

(2)

= l(s

n

, s

_n+1

)

[∂

sn

X(s

n

)]

²

+ [∂

sn

Y (s

n

)]

²

1 2

∂

sn

X(s

n

)∆X + ∂

sn

Y (s

n

)∆Y l

²

(s

n

, s

n+1

)

= 1

l(s

n

, s

_n+1

) {[X(s

_n+1

) − X(s

n

)] ∂

sn

(X(s

n

)) + [Y (s

_n+1

) − Y (s

n

)] ∂

sn

(Y (s

n

))}

car (

∂X(s

n

)

∂s

n

2

+

∂Y (s

n

)

∂s

n

2

)

¹₂

= (

dX(s) ds

s=sⁿ

2

+

dY (s) ds

s=sⁿ

2

)

¹₂

= dS

ds

s=sⁿ

= 1 Ce qui montre

^∂l(sn_∂s^,s_nⁿ⁺¹⁾

= − cos Θ

n

= u

n

Pour la deuxi` eme ´egalit´e on a

∂l(s

n

, s

n+1

)

∂s

_n+1

= 1 l(s

n

, s

_n+1

)

[X(s

n+1

) − X(s

n

)] ∂

sn+1

(X(s

n+1

))

+ [Y (s

_n+1

) − Y (s

n

)] ∂

sn+1

(Y (s

_n+1

)) (3) ainsi les droites r et ρ sont:

r :

X(α) = X(s

n

) − ∂

sn+1

X(s

n+1

) α

Y (α) = Y (s

n

) − ∂

sn+1

Y (s

n+1

) α , α > 0 ρ :

X(β) = X(s

n

) − ∆Y β

Y (β) = Y (s

n

) + ∆X β , β > 0

Les mˆemes consid´erations que pr´ec´edemment donnent

l

²

(s

n

, s

_n+1

) = α

T

∆X∂

sn+1

X(s

n+1

) + ∆Y ∂

sn+1

Y (s

n+1

) r

n+1

= α

T

= ⇒ cos Θ

n+1

= l(s

n

, s

n+1

) r

_n+1

(3)

= ∂l(s

n

, s

n+1

)

∂s

_n+1

d’o ` u

∂l(s

n

, s

_n+1

)

∂s

_n+1

= cos Θ

n+1

= −u

n+1

Exercice 2 Dynamique hamiltonienne

Rappel de m´ ecanique analytique

1. Consid´erons un syst`eme hamiltonien avec espace de phase Γ = (~ p, ~ q) o` u [~ p = (p

₁

, p

₂

, . . . , p

N

); ~ q = (q

₁

, q

₂

, . . . , q

N

)]

Les ´equations canoniques bien connues sont

˙

p

k

= − ∂H (~ p, ~ q, t)

∂q

k

; q ˙

k

= ∂H (~ p, ~ q, t)

∂p

k

1 ≤ k ≤ N (4)

Un changement de variables dans l’espace de phase Γ (~ p, ~ q) → ( P , ~ ~ Q) est appel´e transformation canonique si ∃ 2N ´equations inversibles (dans un ouvert de Γ)

Q

k

= Q

k

(~ p, ~ q, t) 1 ≤ k ≤ N

P

k

= P

k

(~ p, ~ q, t) (5)

telles que la forme des ´equations canoniques dans les nouvelles variables est pr´eserv´ee, i.e. si l’on a

P ˙

k

= −

∂H

P , ~ ~ Q, t

∂Q

k

; Q ˙

k

=

∂H

P , ~ ~ Q, t

∂P

k

1 ≤ k ≤ N (6)

o` u H( P , ~ ~ Q, t) est le nouvel hamiltonien du syst`eme.

2. Il est clair que (4) resp. (6) rend stationnaire l’action S =

Z

t1

t0

dt X

k

p

k

q ˙

k

− H(~ p, ~ q, t)

!

resp.

S = Z

t1

t0

dt X

k

P

k

Q ˙

k

− H( P , ~ ~ Q, t)

!

on a donc δ

⁽¹⁾

S = 0 resp. δ

⁽¹⁾

S = 0; clairement la condition au bord δ~ q(t

0

) = δ~ q(t

₁

) = 0 resp. δ ~ Q(t

₀

) = δ ~ Q(t

₁

) = 0 est prise en compte. Ainsi

S = S + Z

t1

t0

dW

dt dt δ

⁽¹⁾

W (t

1

) = 0 = δ

⁽¹⁾

W (t

2

) Donc

dW

dt = X

k

p

k

q ˙

k

− H(~ p, ~ q, t) − (

X

k

P

k

Q ˙

k

− H( P , ~ ~ Q, t) )

(7) La d´ependance de W par rapport aux variables ~ p, ~ q, ~ P , ~ Q, t est par:

(a) on a (2N + 1) variables ind´ependantes `a cause de (5).

(b) W doit d´ependre des nouvelles et anciennes coordonn´ees.

Ceci donne finalement 4 possibilit´es:

W

1

(~ q, ~ Q, t) ; W

2

(~ q, ~ P , t) ; W

3

(~ p, ~ Q, t) ; W

4

(~ p, ~ P , t) 3. Depuis W

₁

(~ q, ~ Q, t) et en utilisant (7), on trouve

dW

₁

dt = ∂W

₁

∂t + X

k

∂W

₁

∂q

k

˙

q

k

+ X

k

∂W

₁

∂Q

k

Q ˙

k

= X

k

p

k

q ˙

k

− H(~ p, ~ q, t) − (

X

k

P

k

Q ˙

k

− H( P , ~ ~ Q, t) )

d’o` u X

k

∂W

1

∂q

k

− p

k

˙ q

k

+ X

k

∂W

1

∂Q

k

+ P

k

Q ˙

k

+ ∂W

1

∂t +H(~ p, ~ q, t)−H( P , ~ ~ Q, t) = 0 Les q

k

et Q

k

´etant ind´ependants, on doit avoir

∂W

1

(~ q, ~ Q, t)

∂q

k

= p

k

; ∂W

1

(~ q, ~ Q, t)

∂Q

k

= −P

k

1 ≤ k ≤ N (8)

et

H( P , ~ ~ Q, t) = H(~ p, ~ q, t) + ∂W

1

(~ q, ~ Q, t)

∂t La condition ”technique”: det n

∂²W1

∂qk∂Qk

o

6= 0 est n´ecessaire pour l’inversion de (8).

Pour le cas de W

₂

(~ q, ~ P , t) on remarque que

W

₂

(~ q, ~ P , t) = W

₁

(~ q, ~ Q, t) + X

k

Q

k

P

k

d’o` u

∂W

2

(~ q, ~ P , t)

∂q

k

= p

k

; ∂W

2

(~ q, ~ P , t)

∂P

k

= Q

k

1 ≤ k ≤ N (9)

1. La transformation infinit´esimale

Q

k

= q

k

+ δq

k

; P

k

= p

k

+ δp

k

(10)

est donn´ee par

W

₂

(~ q, ~ P ) = X

k

q

k

P

k

+ G(~ q, ~ P ) petit car P

k

q

k

P

k

donne la transformation triviale Q

k

= q

k

; P

k

= p

k

et δq

k

, δp

k

sont consid´er´es infinit´esimaux. Par (9) on a p

k

= ∂W

₂

(~ q, ~ P )

∂q

k

= P

k

+ ∂G(~ q, ~ P )

∂q

k

1 ≤ k ≤ N et

Q

k

= ∂W

₂

(~ q, ~ P )

∂P

k

= q

k

+ ∂G(~ q, ~ P )

∂P

k

1 ≤ k ≤ N avec (10)

⇒

( δq

k

=

^∂G_∂P^{(~q, ~P)}

k

δp

k

= −

^∂G(~_∂q^{q, ~}_k^P)

1 ≤ k ≤ N et pour la premi`ere on peut ´ecrire

∂G

∂P

k

= ∂G

∂p

k

∂p

k

∂P

k

= ∂G

∂p

k

+ O(

²

)

G est donc consid´ere´e ici comme fonction de (~ q, ~ p) seulement.

2. Appliquons ceci au cas hamiltonien, on a δq

k

= dt ∂H(~ p, ~ q)

∂p

k

= ˙ q

k

dt = dq

k

δp

k

= −dt ∂H(~ p, ~ q)

∂q

k

= ˙ p

k

dt = dp

k

On a donc la situation suivante:

t → (~ q, ~ p) t + dt → ( Q, ~ ~ P )

´evolution pendant dt : ( ˙ ~ qdt, ~ pdt) = (d~ ˙ q, d~ p).

On a donc que la transformation canonique change les coordonn´ees au temps t dans celles au temps t + dt, l’´evolution du syst`eme dans l’intervalle de temps dt peut ˆetre d´ecrit par une transformation canonique infinit´esimale g´en´er´ee par l’hamiltonien.

L’´evolution de t = t

₀

`a t = t

₁

est donn´ee par une suite de transformations canoniques infinit´esimales qui est encore une transformation canonique.

Enfin, notez l’analogie entre l(s

n

, s

_n+1

) et la fonction g´en´eratrice W

₁

(~ q, ~ Q).