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Problème. Trouver la plus petite corde d'une ellipse, qui soit normale à l'une de ses extrémités

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

B. N IEWENGLOWSKI

Problème. Trouver la plus petite corde d’une ellipse, qui soit normale à l’une de ses extrémités

Nouvelles annales de mathématiques 2

e

série, tome 14 (1875), p. 270-271

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1875_2_14__270_0>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1875, tous droits réservés.

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(2)

( 27° )

PROBLÈME.

Trouver la plas petite corde d'une ellipse, qui soit normale à l'une de ses extrémités ;

PAR M. B. NIEWENGLOWSKI, Professeur de Mathématiques spéciales au lycée de Reims.

Ce problème a été traité par M. Ossian Bonnet (Nou- velles Annales, t. II, ire série, p. J\I\) et par M. Des- bove (Questions (V Algèbre,^. 376). Voici une solution qui n'exige aucun artifice de calcul.

Soient

y = mx -+• n

les équations d'une ellipse et d'une sécante. En désignant par l la longueur de la corde déterminée par cette droite, on a

P = (x' — x")*(i + m2),

od et od1 étant les abscisses des extrémités de la corde.

L'équation qui donne od et xu étant de la forme x2 -4- px -h q = O,

on a

-4-m').

En remplaçant p et q par leurs valeurs, on trouve

Si maintenant oa remplace n* par -r~—rr—;> la corde

tf ' I U fil

sera normale, et sa longueur sera donnée par l'équation

(3)

l\ suffit, pour étudier les variations de Z% de faire croître m* de o à -f- oo . En posant m2 = z, il suffît de considérer la fonction

u = (i -+- *)3 {a2 -4- bH)-1 (a*z -f- £2)~%

dont la dérivée est, toutes réductions faites,

On a donc deux cas à distinguer :

ou

La valeur de z étant toujours positive, on a constam- ment v! <^ o ; donc la corde normale va en décroissant depuis 2.a jusqu'à ib\

2° a ;> b sfî.

La dérivée u' s'annule pour z = r- (valeur ad-

r a2 — 2 02 v

missible puisqu'elle est positive), et en s'annulant passe du négatif au positif. Donc, le point de contact se mou- vant sur l'ellipse, du sommet A au sommet B, la corde normale part de la valeur 2a, arrive à une valeur mi-

Q2 foi

nima égale à 3 y 3 ^ et croît de nouveau jus- (a* + b*)J

qu'à ibt

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