Corde Vibrante (Onde transversale) Ondes Stationnaires: Interf´erences
Corde Vibrante & Ondes Stationnaires
K.Demmouche
CUAT, 07 Janvier 2014
Corde Vibrante (Onde transversale) Ondes Stationnaires: Interf´erences
Outline
1 Corde Vibrante (Onde transversale)
2 Ondes Stationnaires: Interf´erences
Corde Vibrante (Onde transversale) Ondes Stationnaires: Interf´erences
La corde (sans raideur) de longueur infini tendue: TensionT. La masse lin´eique µ: Masse par unit´e de longueur (kg/m).
En mouvementtransverse: suivant (Oy).
Propagation d´un faible ´ebranlement le long de l´axeOx.
On veut calculer la force r´esultante appliqu´ee sur un segment
∆x de la corde.
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Corde Vibrante (Onde transversale) Ondes Stationnaires: Interf´erences
En mouvement la corde est courbue: pour le segment ∆x une force est appliqu´ee en pointx et une autre en point x+ ∆x.
Calculons les composantes verticales de ces deux forces `a un instantt:
Fy(x,t) = −T sinθ|x Fy(x+ ∆x,t) = T sinθ|x+∆x Mais pour faible ´ebranlementθ1
sinθ∼tanθ= ∂y
∂x La r´esultante R est
R=T ∂y
∂x x+∆x
− ∂y
∂x x
=T
∂y
∂x
x+∆x− ∂y∂x x
∆x ∆x =T∂2y
∂x2dx
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En mouvement la corde est courbue: pour le segment ∆x une force est appliqu´ee en pointx et une autre en point x+ ∆x.
Calculons les composantes verticales de ces deux forces `a un instantt:
Fy(x,t) = −T sinθ|x Fy(x+ ∆x,t) = T sinθ|x+∆x
Mais pour faible ´ebranlementθ1 sinθ∼tanθ= ∂y
∂x La r´esultante R est
R=T ∂y
∂x x+∆x
− ∂y
∂x x
=T
∂y
∂x
x+∆x− ∂y∂x x
∆x ∆x =T∂2y
∂x2dx
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En mouvement la corde est courbue: pour le segment ∆x une force est appliqu´ee en pointx et une autre en point x+ ∆x.
Calculons les composantes verticales de ces deux forces `a un instantt:
Fy(x,t) = −T sinθ|x Fy(x+ ∆x,t) = T sinθ|x+∆x Mais pour faible ´ebranlementθ1
sinθ∼tanθ= ∂y
∂x
La r´esultante R est
R=T ∂y
∂x x+∆x
− ∂y
∂x x
=T
∂y
∂x
x+∆x− ∂y∂x x
∆x ∆x =T∂2y
∂x2dx
Corde Vibrante (Onde transversale) Ondes Stationnaires: Interf´erences
En mouvement la corde est courbue: pour le segment ∆x une force est appliqu´ee en pointx et une autre en point x+ ∆x.
Calculons les composantes verticales de ces deux forces `a un instantt:
Fy(x,t) = −T sinθ|x Fy(x+ ∆x,t) = T sinθ|x+∆x Mais pour faible ´ebranlementθ1
sinθ∼tanθ= ∂y
∂x La r´esultante R est
R=T ∂y
∂x x+∆x
− ∂y
∂x x
=T
∂y
∂x
x+∆x− ∂y∂x x
∆x ∆x =T∂2y
∂x2dx
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En appliquant maintenant le PFD (F =ma) pour le segment de massedm=µdx, on a:
T∂2y
∂x2dx =µdx ∂2y
∂t2
|{z}
acc´el´eration
Enfin
L´´equation aux d´eriv´ees partielles d´onde
∂2y
∂x2 = µ T
∂2y
∂t2 avecv =q
T
µ est lavitesse de propagationde l´onde dans la corde.
1 Onde transverse: La vitesse d´epend de la tensionT.
2 Elle est ind´ependante de la fr´equence ω !!
3 Le milieu est ditnon-dispersif.
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Exp´ erience de Melde
Un vibreur ´electrique excite une corde de longueurL tendue par une masse suspendue.
Observations:
on observe une s´erie de fuseauxde longueurs ´egales, 1,2,3,... fuseaux suivant le poids.
Les points immobiles sont les Noeudset les points d´amplitude maximale sont les Ventres
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Exp´ erience de Melde
Un vibreur ´electrique excite une corde de longueurL tendue par une masse suspendue.
Observations:
on observe une s´erie de fuseauxde longueurs ´egales, 1,2,3,...
fuseaux suivant le poids.
Les points immobiles sont les Noeudset les points d´amplitude maximale sont les Ventres
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Interf´ erence de deux ondes progressives identique se pr propageant en sens oppos´ e
Interpr´etation:
Le ph´enom`ene d´ondes stationnaires r´esulte de l´interf´erence de deux ondes progressives de mˆeme p´eriodes (spatiale & temporelle) se propageant en sens contraires suivant la mˆeme direction:
Onde incidente: issue de la source.
Onde r´efl´echie: dˆu `a une seule r´eflexion de l´onde incidente en point de l´autre extr´emit´e.
Aller voir l´Animation 1 et 2 !!
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Les faits observ´ es
1 Tous les points vibrent avec la mˆeme fr´equence `a l´exception des noeuds.
2 Entre deux noeuds cons´ecutifs les points ont constamment des mouvements parall´els de mˆeme sens: en phase.
3 Deux points situ´es de part et d´autre d´un noeud ont constamment des mouvements de sens contraires: en opposition de phase.
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Onde incidente : Y1(x,t) =Acos (ωt−kx) Onde r´efl´echie : Y2(x,t) =Acos (ωt+kx+φ) Onde r´esultante:
Y(x,t) =Y1+Y2 = 2Acos
kx−φ 2
| {z }
amplitude
cos
ωt+φ 2
| {z }
phase
L´amplitude d´epend de la positionx.
Pour tenir compte que les points des extr´emit´es restentimmobiles (noeud):
Y(0,t) = 0 ; Y(L,t) = 0−→φ=π.
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Position des Noeuds: amplitude nulle kx−π
2 = (2n+ 1)π
2 (1)
xn = nλ
2 ; n= 0,1,2, .. (2) Position des Ventres: amplitude maximale
kx−π
2 = nπ (3)
xn = (2n+ 1)λ
4 ; n = 0,1,2, .. (4) La distance entre deux noeuds succ´essifs est λ2
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Les fr´ equences propres
Y(L,t) = 0⇐⇒cos
kL+φ 2
= 0 ce qui donne
kL=nπ ⇐⇒2L=nλ.
2Lest un multiple entier de la longueur d´ondeλ. Ainsi les fr´equences possibles sont donc:
fn= v λ = n
2L s
T
µ ; n= 1,2, .. (5)
f =f1 = 2L1 qT
µ est lafr´equence fondamentale. Toutes les fr´equences sup´erieures sont multiple entier de f
fn=nf ; n= 1,2, .. (6)
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