Ondes en milieux d´ esordonn´ es et ph´ enom` enes de localisation – Examen

Universit´ es Paris 6, Paris 7 & Paris-Sud, ´ Ecole Normale Sup´ erieure, ´ Ecole Polytechnique Master 2 iCFP

Ondes en milieux d´ esordonn´ es et ph´ enom` enes de localisation – Examen

Vendredi 5 avril 2019 Dur´ ee : 3 heures.

Vous pouvez utiliser vos notes de cours (tout autre document est interdit).

Transition m´ etal-isolant en 2D ?

La possibilit´ e d’une transition m´ etal-isolant dans un m´ etal en deux dimensions a ´ et´ e beaucoup d´ ebattue (th´ eoriquement et exp´ erimentalement) dans les ann´ ees 80 et 90. On ´ etudie ici cette question dans le cadre de la th´ eorie d’´ echelle. Le crit` ere de localisation adopt´ e par cette derni` ere est bas´ e sur l’analyse de la d´ ependance de la conductance adimensionn´ ee g(L) dans la taille L du syst` eme, pour un ´ echantillon “cubique” de volume L

, o` u d est la dimension. On introduit

β(g)

= d ln g

d ln L , (1)

dont les comportements limites attendus sont :

• g(L) ' σ

L

(loi d’Ohm) ` a faible d´ esordre, d’o` u β(g) ' d − 2 pour ln g → +∞.

• g(L) ∼ exp[−2L/ξ] ` a fort d´ esordre (o` u ξ est la longueur de localisation), d’o` u β(g) ' ln g +cste pour ln g → −∞.

Si β(g) > 0, le syst` eme est conduit vers la phase m´ etallique ` a grande ´ echelle (g % pour L %) alors que pour β(g) < 0 il est conduit vers la phase isolante (g & pour L %).

Le calcul de la correction de localisation faible (1979) a permis une analyse de la fonction β(g) dans la limite m´ etallique ln g → +∞. Nous nous focaliserons ici sur le cas marginal bi- dimensionnel pour lequel le r´ esultat classique (Drude) donne β(g) ' 0 pour ln g → +∞. Les corrections quantiques jouent donc un rˆ ole tr` es important, puisque suivant leur signe, le syst` eme reste isolant ou bascule dans la phase m´ etallique, avec transition m´ etal-isolant.

A. Correction de localisation faible dans un m´ etal 2D

On consid` ere dans un premier temps un m´ etal bidimensionnel faiblement d´ esordonn´ e, de di- mension L × L (Fig. 1). Si le courant est inject´ e par un bord et collect´ e sur le bord oppos´ e, la conductance adimensionn´ ee g est simplement proportionnelle ` a la conductivit´ e σ dans cette g´ eom´ etrie : σ = G =

g. En 2D, la conductance (classique) de Drude est donc ind´ ependante de la taille du plan :

g

= 1

2 k

`

, (2)

o` u k

est le vecteur de Fermi et `

le libre parcours moyen ´ elastique.

I

V

I

L

e−

L

Figure 1 : Transport d’´ electrons dans un plan

m´ etallique de dimension L × L. On ´ etudie la

conductance G = I/V .

Nous ´ etudions en d´ etail le Cooperon contrˆ olant la correction de localisation faible ∆g

` a la conductance classique du plan.

1/ A quelle condition sur ` g

l’approche perturbative (diagrammatique) est-elle valable ? 2/ Cooperon en 2D ` a champ magn´ etique nul

a) Rappeler la solution (invariante par translation) de l’´ equation de la diffusion ∂

∂t − D∆

P

(~ r, ~ r

) = δ(t) δ(~ r − ~ r

) (3) en dimension d.

b) Le Cooperon est reli´ e ` a P

(~ r, ~ r

) par C(~ r, ~ r

) = D

Z

0

dt P

(~ r, ~ r

) e

(4) o` u τ

est le temps de coh´ erence de phase et L

= p

Dτ

la longueur de coh´ erence de phase. Montrer que C(~ r, ~ r

) est reli´ e ` a une fonction de MacDonald (cf. annexe). Donner explicitement la solution pour la dimension d = 2.

c) L’´ evaluation de C(~ r, ~ r) pour ~ ρ = ~ r − ~ r

→ 0 pose probl` eme en d > 2 (dans le cadre pr´ esent´ e ici). Pour r´ egulariser le calcul de C(~ r, ~ r), on effectue une moyenne ` a petite

´

echelle dans un disque de rayon `

: C(~ r, ~ r) −→

Z

||~ρ||<`e

d

ρ ~

π`

C(~ ρ + ~ r, ~ r) ≡ C(~ r, ~ r) (5) Comment justifier cette moyenne sur l’´ echelle `

? Calculer C(~ r, ~ r) (utiliser l’annexe).

3/ En utilisant ∆g

= −2 C(~ r, ~ r) (pour le plan), montrer que

∆g

(L

) = − 1

π ln(L

/`

) + cste (6)

4/ Effet du champ magn´ etique.— Le champ magn´ etique introduit une nouvelle ´ echelle caract´ eristique L

. Par analyse dimensionnelle, exprimer L

en fonction de ~ , e et B. Par un argument physique, justifier que le comportement de la correction de localisation faible

`

a fort champ est donn´ e par ∆g

(L

). En admettant que ∆g

est quadratique ` a faible champ, tracer l’allure de ∆g

en fonction de B.

5/ Fonction β.— On admet que la correction pour un ´ echantillon coh´ erent (L . L

) est donn´ ee par ∆g

(L). En ´ ecrivant g ' g

+ ∆g

, d´ eduire le comportement de la fonction β(g) ` a grand g. Tracer l’allure de β(g) en fonction de ln g (depuis le r´ egime de fort d´ esordre g → 0 jusqu’au r´ egime de faible d´ esordre g → ∞).

6/ Longueur de localisation.— Rappeler comment estimer la longueur de localisation ξ

`

a partir de la forme approch´ ee g ' g

+ ∆g

. D´ eduire l’expression de ξ

en fonction de k

et `

.

A.N. : Dans l’article de Eshkol et al., Phys. Rev. B 73, 115318 (2006), les auteurs pr´ esentent des mesures sur un m´ etal 2D ` a une interface GaAs/AlGaAs. Ils donnent n = 2.8 × 10

m

(densit´ e d’´ electrons), ε

=

∗

= 9.9 meV (´ energie de Fermi), D = 0.085 m

/s (constante de diffusion), τ

= `

/v

= 3.3 × 10

s (temps de libre parcours moyen ´ elastique), o` u v

= ~k

/m

.

Exprimer k

`

en fonction de ε

et τ

. D´ eduire la valeur de ξ

/`

.

’

σσ ,σ σ’ ’

σσ ,σ σ’

C

C σ σ ’

σ σ

σ

’ σ

’ σ

’

σ Figure 2 : ` A gauche : Diagramme de

localisation faible avec indices de spins.

Le vertex de courant conserve le spin. A ` droite : Cooperon impliqu´ e dans le dia- gramme.

B. Effet d’un fort couplage spin-orbite

Les m´ etaux lourds sont caract´ eris´ es par un fort couplage spin-orbite et la diffusion sur le potentiel d´ esordonn´ e affecte ´ egalement l’´ etat de spin des ´ electrons.

Les lignes de fonctions de Green et le vertex de d´ esordre portent des indices de spin. Le Cooperon “propage” donc une paire d’indices de spin : C

(~ r, ~ r

).

L’invariance par rotation du probl` eme implique que le Cooperon se d´ ecompose sur l’´ etat singulet de spin (S = 0) pour la paire de spins et l’´ etat triplet (S = 1). Dans la limite de fort couplage spin orbite, seul subsiste la contribution du canal singulet, i.e. une contribution

C

(~ r, ~ r

) ' C(~ r, ~ r

) Π

σ1σ2,σ3σ4

(7)

proportionnelle au projecteur

Π

= | 0, 0 ih0, 0 | o` u | 0, 0 i = 1

√ 2 (| + − i − | − + i) . (8) C(~ r, ~ r

) ´ etant le Cooperon de la question A (sans spin).

1/ Donner un argument physique pour justifier que le Cooperon est domin´ e par le canal singulet.

2/ Ecrire la matrice repr´ ´ esentant le projecteur Π

dans la base

| + + i, | +− i, | − + i, | − − i . 3/ La correction de localisation faible (Fig. 2) est donn´ ee par

∆g

= − X

σ, σ⁰

C

(~ r, ~ r) (9) Effectuer la somme sur les indices de spin et d´ eduire l’expression de ∆g

` a champ nul.

4/ En 1984, Bergman a fait une s´ erie de mesures de magn´ eto-r´ esistance de films m´ etalliques d’un alliage de Magn´ esium (Z = 12) et d’Or (Z = 79), en faisant varier la concentration en Or (Fig. 3). Expliquer l’allure des courbes exp´ erimentales.

5/ Dans la limite de fort couplage spin-orbite, pour le film coh´ erent, on a donc

∆g

(L) = + 1

2π ln(L/`

) + cste (10)

D´ eduire le nouveau comportement limite de la fonction β(g) ` a grand g. En admettant que le comportement ` a grand g de la fonction se raccorde continˆ ument sur le comportement attendu dans le r´ egime de fort d´ esordre (cf. introduction), justifier que la pr´ esence de fort couplage spin-orbite induit une transition m´ etal-isolant en 2D.

1 Bien que cela ne soit pas utile ici, on rappelle que l’effet du couplage spin orbite est d’ajouter au potentiel d´esordonn´eV(~r) une contribution _2m¹2

ec²S~e· ∇V~ ×p~

o`uS~e est le spin de l’´electron et~pson impulsion.

16 G. Bergmann, Weak localization in thin films

54.0 Au 16%Au

~ Mg 8%Au °°

0.1 -1.0

14.0 4%Au

7.1 ^~ 2%Au

0 0

3.8 1%Au

R~91Q 0.5

T’4.6K

-0.1 1.0

0.5 0%Au

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 06 0.8

H(T)

Fig. 2.10. The magneto-resistance of a thin Mg-film at 4.5 K for different coverages with Au. The Au thickness is given in % of an atomic layer on the right side of the curves. The superposition with Au increases the spin-orbit scattering. The points are measured. The full curves are obtained with the theory by Hikami et al. The ratioT

1/T5,on the left side gives the strength of the adjusted spin-orbit scattering. It is essentially proportional to the Au-thickness.

because the quenched condensation yields homogeneous films with high resistances. The points are measured. The spin-orbit scattering of the pure Mg is determined as discussed above. The different experimental curves for different temperatures are theoretically distinguished by their differentH,(i.e.

the inelastic lifetime). This is the only adjustable parameter for a comparison with theory (afterH,,~,is determined). The ordinate is completely fixed by the theory in the universal units ofL00(right scale).

The full curves give the theoretical results with the best fit ofH,which is essentially a measurement of H1. The agreement between the experimental points and the theory is very good. The experimental result proves the destructive influence of a magnetic field on QUIAD. It measures the area in which the coherent electronic state exists as a function of temperature and allows the quantitative determination of the coherent scattering timeT1.The temperature dependence is given by aT2law for Mg as is shown in fig. 2.12.

For other metal films where the nuclear charge is higher than in Mg one finds even in the pure case the substructure caused by spin-orbit scattering. In fig. 2.13 the magneto-resistance curves for a thin quench condensed Cu-film are shown. Again the points represent the experimental results whereas the full curves show the theory. At low temperatures the inelastic lifetime is long and therefore the effect of the spin-orbit scattering dominates in small fields. At high temperatures the inelastic lifetime becomes smaller than the spin-orbit scattering time and the magneto-resistance becomes negative because of the minor role of the spin-orbit scattering. For Au-films the spin-orbit scattering is so strong that it completely dominates the magneto-resistance.

The natural question is, why does weak localization change to weak anti-localization in the presence of spin-orbit scattering?

Figure 3 : Magn´ eto-r´ esistance (r´ esistance ´ electrique en fonction du champ magn´ etique) d’un alliage magn´ esium-or pour diff´ erentes concentrations en or. Tir´ e de : G. Bergmann, Weak loca- lization in thin films, Phys. Rep. 107(1), 1–58 (1984).

C. Effet des interactions entre ´ electrons

Dans un m´ etal, la nature diffusive du transport renforce l’effet de l’interaction et apporte une contribution n´ egative ` a la conductance, appel´ ee correction Al’tshuler-Aronov. En utilisant main- tenant une repr´ esentation temporelle, son expression est (pour ~ = k

= 1)

∆g

= −2λ

D Z

˜ τe

dt P

(t)

πtT sinh(πtT )

(11) o` u P

(t) = P

(~ r, ~ r) (la solution du A.2.a) repr´ esente le Diffuson et λ

est une constante d’interaction sans dimension. T est la temp´ erature et ˜ τ

= `

/D un cutoff.

1/ Montrer que

∆g

(L

) = − λ

π ln(L

/`

) + cste (12)

en 2D, o` u L

est la longueur thermique, dont on donnera l’expression en fonction de T et de D (pour ~ = k

= 1).

2/ On admet que la correction Al’tshuler-Aronov dans un film de dimension L . L

est donn´ ee par ∆g

(L). Donner l’expression de la conductance totale, combinant les deux corrections quantiques g ' g

+ ∆g

+ ∆g

, pour un fort couplage spin-orbite.

3/ Dans la limite de fort couplage spin-orbite, la constante d’interaction est donn´ ee par λ

= 4/d o` u d est la dimension. Le comportement limite de la fonction β(g) ` a grand g est-il compatible avec une transition m´ etal-isolant en 2D ?

4/ R´ eintroduire k

et ~ dans l’expression de L

(par analyse dimensionnelle). En utilisant la

valeur donn´ ee plus haut, D = 0.085 m

/s, donner la valeur de la temp´ erature qu’il faudrait

atteindre pour que L

> L = 10 µm.

Annexe

Fonction de MacDonald (Bessel modifi´ ee)

On donne une repr´ esentation int´ egrale des fonctions de MacDonald K

(z) = 1

2 z

2

Z

0

dt

t

e

for Re z > 0 (13) et les comportements limites

K

(z) ' r π

2z e

for z → +∞ (14)

' (

2

Γ(ν)

for ν 6= 0

ln(2/z) − C for ν = 0 for z → 0 (15)

o` u C = 0.577... est la constante d’Euler-Mascheroni.

Autres

• Constantes fondamentales : ~ = 10

J/s ; k

= 1.38 × 10

J/K ; |q

| = 1.6 × 10

C.

Pour en savoir plus :

• La discussion est inspir´ ee de l’article :

B. L. Altshuler and A. G. Aronov, Fermi-liquid theory of the electron-electron interaction effects in disordered metals, Solid State Commun. 46(6), 429–435 (1983).

Solutions disponibles sur la page du cours : http://www.lptms.u-psud.fr/christophe_texier/