Problème A362 – Solution de Jean Drabbe
Nous allons montrer que
les seules valeurs possibles de k sont 4 et 9 ,
pour k = 4 : les trois entiers réversibles de 10 chiffres sont 8712008712 8791287912 8799999912 , pour k = 9 : les trois entiers réversibles de 10 chiffres sont 9801009801 9890198901 9899999901 .
Les démonstrations n'utiliseront que l'arithmétique élémentaire.
Les suites – , – – , – – – , – – – – , etc .... représenteront des suites de chiffres dont les longueurs ne doivent temporairement pas être précisées (la longueur 0 est admissible).
LA VALEUR k = 9 EST ADMISSIBLE
Soit n un nombre multiple 9 de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Le premier chiffre (à gauche) de m doit être 1 (m et n doivent avoir la même longueur) , le dernier
chiffre de n doit aussi être 1 et m , n doivent avoir la forme m = 1 – – – – – 9
* 9 –––––––––––––
n = 9 – – – – – 1
Le deuxième chiffre de m ne peut être 1 car cela nous conduirait successivement à m = 1 1 – – – – 9
* 9 –––––––––––––
n = 9 – – – – 1 1
m = 1 1 – – – 7 9 * 9 –––––––––––––
n = 9 7 – – – 1 1
Le chiffre 7 en deuxième position de n n'est pas admissible !
Seule la valeur 0 est donc admissible pour m . On obtient ainsi consécutivement
m = 1 0 – – – – 9 * 9 –––––––––––––
n = 9 – – – – 0 1
m = 1 0 – – – 8 9 * 9 –––––––––––––
n = 9 8 – – – 0 1
et un même nombre quelconque de chiffres 9 peut être introduit dans les parties de n et m représentées par – – – .
Les nombres 9801 , 98901 , 989901 , 9899901 , 98999901 , ... sont donc réversibles en tant que multiples de 9 .
Il en est de même de la concaténation d'un quelconque des nombres précédents avec lui-même (98019801 , 9890198901 , 989901989901 , ...) ET encore mieux, de ces concaténations séparées par un nombre quelconque de chiffres 0 (980109801 , 9801009801 , ...) .
Il est aisé de vérifier que ces méthodes permettent de montrer que, dans le cas k = 9 , seuls trois nombres réversibles de 10 chiffres sont possibles.
LA VALEUR k = 4 EST ADMISSIBLE
Nous utilisons m et n comme précédemment et k = 4. Le premier chiffre de m ne peut être 1 (il doit être le même que le dernier chiffre de n). Ce chiffre doit donc être 2 .
Par conséquent, le dernier chiffre de m doit être 3 ou 8 . 3 ne peut être retenu car il ne peut être le premier chiffre de n .
Il nous faut donc une configuration de la forme m = 2 – – – – – 8 * 4 –––––––––––––
n = 8 – – – – – 2
Le deuxième chiffre de m être 1 (ce doit être un nombre impair inférieur à 3).
On obtient alors consécutivement
m = 2 1 – – – – 8 * 4 –––––––––––––
n = 8 – – – – 1 2
m = 2 1 – – – 7 8 * 4 –––––––––––––
n = 8 7 – – – 1 2
et un même nombre quelconque de chiffres 9 peut être introduit dans les parties de n et m représentées par – – – .
Une argumentation imitant mutatis mutandis celle du cas k = 9 établit que seuls trois nombres réversibles de 10 chiffres sont possibles lorsque k = 4 .
LES VALEUR DE k AUTRES 4 et 9 NE SONT PAS ADMISSIBLES
Dans les cas où k appartient à {5 , 6 , 8} , la vérification de l'impossibilité est triviale
car le premier chiffre de m doit être 1 alors que le dernier chiffre de n doit être un nombre pair ou 5 .
Nous nous borderons à examiner le cas k = 7 car l'examen des situations où k appartient à {2 , 3} ne fait appel qu'à des arguments qui auront été maintes fois déjà utilisés.
Dans le cas où k = 7 , il faudrait que
m = 1 α – – – 3 * 7
––––––––––
n = 3 – – – – 1
et aucune valeur convenable ne pourrait être attribuée à α !
REMARQUE
La propriété suivante me paraît intéressante :
n est inversible en m avec n = 4 ● m si et seulement si
n est divisible par 8 et (n / 8) ● 9 est inversible en n / 8 .
