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Academic year: 2022

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(1)

Sur un compact dont la fronti`ere admet une mesure strictement positive

H´edi Joulak, universit´e de Lille 12 novembre 2001

Mots-cl´es: compacit´e, mesure de Lebesgue.

Exercice.

Trouver un compact de R

n

de mesure strictement positive et d’int´erieur vide.

Solution. On note λ la mesure de Lebesgue de R

n

. 1) n = 1. On consid`ere K = [0, 1] − S

]a

n

− ε

n

, a

n

+ ε

n

[ o`u (a

n

) est une suite dense de [0, 1] et (ε

n

) une suite de R

+

tendant vers 0. L’int´erieur de K est alors vide (grˆace `a la densit´e des a

n

) et :

λ(K) = 1 − λ [

]a

n

− ε

n

, a

n

+ ε

n

[

≥ 1 − 2 X ε

n

Il suffit de choisir la suite (ε

n

) telle que 1 − 2 P

ε

n

soit > 0

2) n quelconque. C’est la mˆeme id´ee ! On consid`ere K = B(0, 1) − S B(a

n

, ε

n

) o`u (a

n

) est une suite dense de B(0, 1) et (ε

n

) une suite de R

+

tendant vers 0.

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