Universit´e Lille 1
Sciences et TechnologiesExamen de Math´ematique
Licence SVTE - S1 5 janvier 2011
dur´ee : 2 heures – ni documents ni calculatrice
Pr´ecisez votre num´ero de groupe en haut `a gauche de la copie
Exercice 1 Calculer les int´egrales suivantes :
I1 = Z 2
1
1
(x+ 1)3 dx; I2 =
Z π/2
0
xsin(x) dx (utiliser une int´egration par parties).
Exercice 2
Etudier les points stationnaires (ou points critiques) de la fonction de deux variables´ f(x, y) =x2+ 2xy−2y2+y3.
Probl`eme Les trois parties peuvent se traiter ind´ependamment. Partie I
Pourx∈]0; 10[, on poseF(x) =Rx 7
1 (10−s)sds.
1. D´eterminer les constantesAetB telles que (10−s)s1 = 10−sA +Bs pour touts∈]0; 10[.
2. En d´eduire que pour tout x∈]0; 10[, on a
F(x) = 1
10ln(s)− 1
10ln(10−s) x
7
= 1 10ln
3x 7(10−x)
. (1)
Partie II
Dans ce qui suit, le temps t est compt´e en ann´ees, t= 0 d´esigne le temps pr´esent, et la populationy(t) est compt´ee en milliards d’individus.
Actuellement, sur la plan`ete T, il y a 7 milliards d’individus (doncy(0) = 7) et la popu- lation augmente de 70 millions par an. On estime qu’`a cause des ressources limit´ees de la plan`ete T, la population est plafonn´ee `a 10 milliards d’individus1. On mod´elise cette situation par les ´equations :
y0(t) = 1
300(10−y(t))y(t) (2)
y(0) = 7 (3)
1. Calculery0(0). `A quelle donn´ee de l’´enonc´e cela correspond-il ? 2. D´eterminer les solutions constantes de l’´equation (2).
3. Sachant que les graphes de solutions distinctes de l’´equation (2) ne peuvent se couper, montrer, en se servant aussi de (3), que 0< y(t)<10 pour toutt.
4. En d´eduire que y(t) est strictement croissante et admet une limite finie.
1. hypoth`ese sp´eculative !
Partie III
On rappelle que pour toutx∈]0; 10[, F(x) =Rx 7
1 (10−s)sds.
1. Que vautF0(x) ?
2. On pose g(t) = F(y(t)) et h(t) = 3001 t. Montrer, en se servant de (2), que g et h sont primitives d’une mˆeme fonction (autrement dit que leurs d´eriv´ees sont ´egales).
En d´eduire, en se servant aussi de (3), que h(t) =g(t).
3. Montrer en utilisant (1) que
3y(t)
7(10−y(t)) =e301t.
4. En d´eduire l’expression de la solutiony(t) qui d´ecrit l’´evolution de la population de la plan`ete T en fonction du tempst.
5. Quelle devrait ˆetre la population sur la plan`ete T dans 60 ans ?
