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CY Cergy Paris universit´e Date: janvier 2021
Examen maths1-PCST
Dur´ee: 3h, les calculatrices ne sont pas autoris´ees.
Exercice 1.
(a) Montrer que pour toutn∈N∗,
n
X
k=1
k= n(n+ 1)
2 .
(b) Calculer les limites suivantes:
(i) limx→+∞ x3−2x2+7
2x3−x2+7x. (ii) limx→+∞ x ex. (iii) limx→0 ex−1−x
x2 .
(c) Calculer les int´egrales suivantes:
Rπ2
0 sinx·cos2xdx; R1
0 xexdx.
Exercice 2.
Soit f une fonction continue sur [0,+∞[ et d´erivable sur ]0,+∞[, telle que f(0) = 0 et f0 est croissante.
(1) `a l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, montrer que pour tout x >0,
f(x)≤xf0(x).
(2) soit g:]0,+∞[→R d´efinie parg(x) = f(x)x , justifier queg est d´erivable sur ]0,+∞[, puis montrer qu’elle est croissante sur ]0,+∞[.
Exercice 3.
On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) =cos(x)−x.
(i) Etudier la variation de f, puis en d´eduire qu’il existe un unique a∈ R tel quecos(a) =a.
(ii) Justifier que a∈[0; 1].
Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0= 0 et pour tout n∈N,un+1=cos(un) (iii) Montrer par r´ecurrence que pour toutn∈N, 0≤un≤1.
2
(iv) `a l’aide du th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e `a la fonction cosx, montrer que pour toutn∈N,
|un+1−a|≤(sin(1))|un−a|. En d´eduire que ∀n∈N,
|un−a|≤(sin(1))n|u0−a|.
(v) Est ce que la suite (un)n∈N converge ? Si oui, quelle est sa limite?
Exercice 4.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y0(t) =y(t) + 2t−1, o`uy(t) est une fonction d´erivable de variable t.
(i) D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle sans second membre :
y0(t) =y(t).
(ii) D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation initiale. En d´eduire la so- lution de l’´equation initiale v´erifiant la conditiony(0) = 1.
