Examen de M2 2007-2008 Dur´ee 3h

Examen de M2 2007-2008 Dur´ee 3h

C. Noot-Huyghe

Le cours, ainsi que le cours de O. Debarre, et les exercices portant sur le cours sont autoris´es. Tout autre document ainsi que tout autre accessoire sont interdits (t´el´ephone portable, machine `a calculer, agenda

´electronique ...).

Pour traiter une question, on peut admettre le r´esultat des questions pr´ec´edentes.

Dans tout l’examen, on adopte les conventions suivantes : si X est un sch´ema, O_X d´esigne le faisceau structural de ce sch´ema,Ω¹_Xest le faisceau des formes diff´erentielles de ce sch´ema. SiDest un diviseur deX, L(D)le faisceau inversible associ´e, alorsl(D) =dim(H⁰(X,L(D))).

Sauf mention explicite du contraire, une courbe sur un corpsKest un sch´ema projectif lisse irr´eductible de dimension 1 surspec(K).

1. Soient pun nombre premier,Qple corps des nombresp-adiques.

1- Montrer queQ_pcontient le groupe des racinesp−1-i`emes de l’unit´e.

2- Soit f un polyn ˆome irr´eductible deFp[X]de degr´enet fun polyn ˆome deZp[X]relevant f. Montrer que f est irr´eductible.

3- SoitA= _Zp[X]/f. Montrer que la valuation deZpse prolonge `aAen posantv_p(aXⁱ) =v_p(a)_pour 0≤i≤n−1 eta ∈Zpet queAest un anneau local complet pour cette valuation.

4- Soitg un autre rel`evement de f dansZ_p[X]etB = Z_p[X]/g. Montrer que ga une racine dans Aet queAetBsont isomorphes.

5- Montrer queAcontient les racines pⁿ−1-i`emes de l’unit´e.

2. SoientKun corps de car. 0,Qun polyn ˆome de degr´ed>0 s´eparable, i.e. tel queQet le polyn ˆome d´eriv´e Q⁰soient premiers entre eux. SoitUle sous-sch´ema ouvertD(Q)de la droite affineA¹_K =spec(K[x]).

1- D´ecrireA= Γ(U,O_U)comme sous-alg`ebre deK(x).

2- Montrer queΩ¹_U est unO_U-module libre de rang 1 engendr´e pardx. CalculerΩ= Γ(U,Ω¹_U). 3- On consid`ere le complexe de de Rham (DR) deU:

0→ A→^d Ω→0.

1- Montrer queH_DR⁰ (U) =Ker(d) =K.

On cherche maintenant `a calculerC=coker(d) =Ω/Im(d). 2- Montrer que

∀i∈ {0, . . . ,d−1}, xⁱ

Qdx6∈Im(d). Dans la suite, on introduit leK-espace vectoriel

E= ^M

0≤i≤d−1

Kxⁱ Qdx 1

et pourn∈N,G_nleK-espace vectoriel G_n =

f

Qⁿdx|f ∈K[x]

⊂Ω.

3- Montrer queΩ=^S_n≥0G_n, que, pour toutn≥1,G_n−1⊂ G_n, et que Gn= Gn−1+

∑

0≤i≤d−1

K xⁱ Qⁿdx.

4- Pour 0 ≤ i≤ d−1 soienta_i etb_i le quotient et le reste de la division euclidienne dexⁱQ⁰ par Q, et b_ila classe deb_idansK[x]/Q. Montrer que(b₀, . . . ,b_d−1)est une base duK-espace vectorielK[x]/Q, puis que pourn≥ 1,

G_n= G_n−1+

∑

0≤i≤d−1

K b_i Qⁿdx.

5- Montrer queGn ⊂E+Im(d)et queH_DR¹ (U)est unK-espace vectoriel de dimensiond.

3. SoientKun corps de caract´eristique6=2,λ∈ K^∗,X=P¹_Kl’espace projectif surK, de coordonn´ees projec- tives[u₀,u₁],n∈N^∗premier aveccar(K)et tel quen−1 est aussi premier aveccar(K). On consid`ere pour λ ∈ K^∗, l’application f :P¹_K → _P¹_K d´efinie en coordonn´ees projectives par[u₀,u₁] 7→ [uⁿ₀+λuⁿ₀⁻¹u₁,uⁿ₁]. On introduira les notationsU₀ = D+(u₀), U₁ = D+(u₁), s = u₁/u₀ ∈ K(X), 0 = [1, 0], ∞ = [0, 1] et t=s⁻¹ ∈K(X).

1- Montrer que l’ouvertU₁est stable par f, et que f_|U1est ramifi´e en au plus 2 points rationnels. Etudier la ramification en∞et montrer qu’elle est mod´er´ee (Indication : Etudier l’applicationf^∗Ω¹_X→Ω¹_X)).

2- Montrer qu’il existeh ∈ O_X(U₀)tel que f induit une applicationD(h) → U₀. Montrer que f est mod´er´ement ramifi´e en 0. Soit[0]le diviseur associ´e `a 0. Calculer le diviseur f^∗([0]). En d´eduire deg(f)_.

3- Calculer l’indice de ramification de f en le point de ramification distinct de 0 et de∞.

4. SoitXune courbe sur un corpsKet f :X→_P¹_Kun morphisme fini s´eparable de degr´en.

1- SoitP∈X(K)et[P]le diviseur associ´e. Calculer f^∗([P])et le degr´e de ce diviseur.

2- On suppose quefest ´etale sauf en les points de la fibref⁻¹(P)_{o `u}fest mod´er´ement ramifi´e. Montrer que f est un isomorphisme.

3- On suppose que f est ´etale en dehors de 0 et ∞ et que f est mod´er´ement ramifi´e au-dessus des points 0 et∞. Montrer alors queXest isomorphe `aP¹_K.

5. SoitXune courbe hyperelliptique sur un corpsKde caract´eristique6=2, de genreg, f :X →_P¹_{K, d´efinie} par les donn´ees suivantes. On note[u₀,u₁]les coordonn´ees projectives surP¹_K,t = u₁/u₀,s = u₀/u₁. La courbeXest r´eunion de 2 ouverts affinesU⁰ = f⁻¹(D+(u₀))etV⁰ = f⁻¹(D+(u₁))avec

U⁰ =spec(K[s,Y]/(Y²−P(s))) V⁰ =spec(K[t,Z]/(Z²−P₁(t)),

avec les relations surU^0TV⁰,t = ₁/s, P₁(t) = P(₁/t)t^2g+2, y = s^g+1z o `u y est la classe deY modulo (Y²−P)(resp.zla classe deZmodulo(Z²−P₁). On suppose que le polyn ˆomePest de degr´e 5.

1- Montrer queXest lisse si et seulement siP∧P⁰ =1 (on red´emontrera le r´esultat du cours).

2- A quoi est ´egalg?

3- Soientω₀ =ds/2yetω₁ =sds/2y. Montrer queω₀engendreΩ¹_U0et queω₁engendreΩ¹_V0. 2

4- Montrer queω₀ = ds/2yetω₁ = sds/2yforment une base de H⁰(X,Ω¹_X)et queΩ¹_X est engendr´e par ses sections globales.

5- Montrer que l’applicationA²_K → A²_K donn´ee parσ(s,Y) = (s,−Y)induit une involution de U⁰ et une involution deH⁰(X,Ω¹_X)que l’on d´eterminera.

6- Soit maintenant X une courbe projective quelconque sur un corps K, de genre g ≥ 2. Calculer dim(H⁰(X,Ω¹_X^⊗3))et donner sa valeur dans l’exemple pr´ec´edent.

7- Montrer qu’on a une application canoniqueAut(X)→ H⁰(X,Ω¹_X^⊗3). On suppose que cette appli- cation est injective et queKest fini, montrer alors que Aut(X)est un groupe fini. Si Kest un corps fini, la courbe hyperlliptique pr´ec´edente v´erifie toutes les hypoth`eses requises. Donner une borne pour le cardinal deAut(X)_.

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