Examen d’Int´ egration et Probabilit´ es-6 janvier 2015-Dur´ ee 3h

L3 MAPI3 2014–2015

Examen d’Int´ egration et Probabilit´ es-6 janvier 2015-Dur´ ee 3h

1 Questions de cours

1. Soit X une variable al´eatoire de loi γ(a, λ) (a, λ > 0). On rappelle que cette loi a pour densit´e, par rapport `a la mesure de Lebesgue :

f_a,λ(x) := λ^a

Γ(a)x^a−1exp(−λx)1]0,+∞[(x), (x∈R).

Pour quelles valeurs deα, µ∈R,Y :=X^αexp(µX) est int´egrable ? Calculer E(Y).

2. Enoncer le th´eor`eme de convergence domin´ee.

3. Enoncer le th´eor`eme de Cochran

2 R´ egression lin´ eaire

Soit n > 2 un entier naturel et θ := ^2π_n. On pose, pour j = 1, . . . , n, x_j := cos(jθ). Soit (ε_j) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes toutes de loi normale standard. Pour α, β ∈ R donn´es, on pose Yj :=αxj +β+εj, j = 1, . . . n etY :=





 Y₁

... Y_n





. 1. Montrer que Pn

j=1xj = 0 et 2Pn

j=1x²_j = n. On pourra utiliser la formule d’Euler : 2 cosx=e^ix+e^−ix, (θ ∈R).

2. Montrer queY est un vecteur gaussien. Pr´eciser sa moyennem et sa matrice de variance covariance Γ.

3. On consid`ere les deux vecteurs de Rⁿ u dont toutes les composantes valent 1 et x :=





 x₁

... x_n





. Montrer que u et x sont orthogonaux. Soit v un vecteur de Rⁿ, comment peut-on calculer la projection orthogonale de v

(a) sur la droite vectorielle E engendr´ee par u? (b) sur la droite vectorielle F engendr´ee parx? (c) sur le plan vectorielG engendr´e par u et x.

4. SiLest un sous-espace vectoriel deRⁿ, on noteP_Lle projecteur orthogonal deRⁿ surL.

On pose X := (u x). Montrer que la matrice X^TX est inversible. Montrer les formules suivantes :

P_E = uu^T

√n, P_F =

√2xx^T

√n P_G=X(X^TX)⁻¹X^T.

5. Pour L est un sous-espace vectoriel de Rⁿ, on note UL := kPLYk². On suppose que α = β = 0 Montrer que U_E et U_F sont des variables al´eatoires ind´ependantes. Quelles sont leurs lois ?

6. Montrer que P_GY etkY −P_GYk² sont ind´ependants. Quelle est la loi de kY −P_GYk²?

3 Un bol d’air pour H¨ older

Soit d un entier naturel non nul et x = (x_i)_i=1,...,d, y = (y_i)_i=1,...,d des vecteurs de R^d. Soit (α_i)_i=1,...,d des nombres r´eels positifs de somme 1.

1. Rappeler l’in´egalit´e de H¨older.

2. En consid´erant un espace mesur´e ad hoc que l’on explicitera, montrer que pourp, q >1 avecp⁻¹+q⁻¹ = 1, on a

d

X

i=1

α_ix_iy_i

pq

≤

d

X

i=1

α_i|x_i|^p

!^q _d X

i=1

α_i|y_i|^q

!^p .