Int´egration et probabilit´es

Int´egration et probabilit´es

Partiel : remarques et bar`eme.

Chaque queion, `a l’exception des queions (A) et (B), rapportait un bonus de+,points si elle ´et´e parfaitement trait´ee.

Commentaire g´en´eral. ´Evitez les mots de typetrivialement,clairementen leur pr´ef´erant une petite jus- tification (mˆeme rapide) :

Ce qui se conc¸oit clairement s’´enonce ais´ement.

Exercice I(,points). ll fallait faire attention `a quelques petits pi`eges malicieux et diaboliques : - Il ne fallait pas ´ecrire R

h⁺_ndµ→R

h⁺dµ sans juification. En effet, dire que R

h⁺_ndµ →R

h⁺dµ et Rh⁻_ndµ→R

h⁻dµ revient `a dire queh_n→hdansL^(E,A, µ), ce qui e(en g´en´eral) plus fort que Rh_ndµ→R

hdµ. Rappelons cependant que si h_n ≥, alors d’apr`es le lemme de Scheff´e, les asser- tionsR

h_ndµ→R

hdµeth_n →hdans L^(E,A, µ) sont ´equivalentes. Dans notre cash_n n’´etait pas forc´ement positive.

- Avant d’´ecrireR

gdµil fallait s’assurer queg∈L^(E,A, µ). Sig ´etait positive, on rappelle queR gdµ aurait toujours un sens, mais icigede signe quelconque.

- Il ne fallait pas ´ecrire une in´egalit´e du type lim inf

n→∞

Z

g_ndµ+ Z

f_ndµ

!

≤lim inf

n→∞

Z

g_ndµ+ lim inf

n→∞

Z f_ndµ

mais une ´egalit´e de type lim inf

n→∞

Z

g_ndµ+ Z

f_ndµ

!

= lim inf

n→∞

Z

g_ndµ+ lim

n→∞

Z f_ndµ.

En effet, si (an)_n≥et (b_n)_n≥sont deux suites r´eelles, il n’epas vrai en g´en´eral que lim inf_n→∞(a_n+ b_n)≤lim inf_n→∞a_n+ lim inf_n→∞b_n (prendrea_n =−b_n=n). Cependant, si (b_n) converge, il evrai que lim inf_n→∞(a_n+b_n) = lim inf_n→∞a_n+ lim_n→∞b_n

Exercice II.

A. (A –points) Il fallait ˆetre pr´ecis dans la r´edaion.

(A –,points) Rien `a signaler.

(A – , points) Quelques copies traitent le cas o `u f = λ1A (voire f = 1A) pour A∈ A, puis

´ecrivent que le r´esultat s’´etend imm´ediatement par lin´earit´e aux fonions ´etag´ees. Il fallait donner un peu de d´etails, car en g´en´eralf 7→ν{x∈E;f(x)> t}n’epas lin´eaire.

B. (B –points) Il fallait donner un exemple dansR^d. (B –points) Rien `a signaler.



(B –points) Rien `a signaler.

(B –points) Toute interversion de limites de type lim inf

n→∞ lim

m→∞a_m,n≤lim inf

m→∞ lim inf

n→∞ a_m,n devait ˆetre juifi´ee.

Exercice III.

(i –point) Dans la mesure du possible, ´evitez les formulations de type[...] eclairement une tribu en leur pr´ef´erant une petite juification rapide.

(ii –point) Rien `a signaler.

(iii –point) Rien `a signaler.

(iv –point) Rien `a signaler.

