Int´egration et probabilit´es
ENS Paris, 2013-2014TD — Fon ions mesurables
1 – Petites questions
) Soient (X, d) un espace m´etrique (par exempleR), etf :X→Rune fonion continue. Pourquoif e-elle mesurable ?
) Soient (X, d) un espace m´etrique (par exempleR), et (fn)n≥une suite de fonionsX→Rmesu- rables. Pourquoi la fonion lim supn→∞fne-elle mesurable ?
) Soitf : ],[→Rune fonion d´erivable. Pourquoi la fonion d´eriv´eef0 e-elle mesurable ?
2 – Fonctions mesurables
E
xercice 1. (Tribus image et r´eciproque) Soitf :X→Y une application. SoientF une tribu surXetG une tribu surY.. Montrer que{B⊂Y;f−(B)∈ F }eune tribu surY. Elle eappel´eetribu image parf.
. (a) Montrer quef−(G) :={f−(B), B∈ G}eune tribu surX. On l’appelletribu engendr´ee parf outribu r´eciproque parf et on la note parfoisσ(f).
(b) Montrer que c’ela plus petite tribu surXqui rendef :X→(Y ,G) mesurable.
(c) SoitB ⊂ P(Y). Alexandra dit : alors n´ecessairement,σ(f−(B)) =f−(σ(B)). A-t-elle raison ?
. On supppose quef :X→(R,B(R)). Montrer que toute foniong : (X, σ(f))−→(R,B(R)) mesu- rable s’´ecritg=h◦f avech: (R,B(R))−→(R,B(R)) mesurable.
Indication :commencer par le cas o `ug e´etag´ee.
. (Exemple.) Soitf :R−→(R,B(R)) d´efinie parf(x) =x.
(a) Montrer que la tribu r´eciproque parf eσ(f) :={A∈ B(R), A=−A}.
(b) D´eterminer l’ensemble des fonions mesurables de (R, σ(f)) dans (R,B(R)).
. Soient (Yi,Bi)i∈I une famille d’espaces mesurables,Y un ensemble, des fonionsfi:Y →Yi etB la tribu engendr´ee par la famille de fonions (fi)i∈I, i.e. la plus petite tribu sur Y rendant lesfi mesurables. On la notera aussiσ(fi, i∈I).
(a) Prouver queσ(fi, i∈I) =σ
[
i∈I
fi−(Bi)
.
(b) Montrer que f : (X,A) → (Y ,B) e mesurable si, et seulement si, pour tout i ∈ I, fi ◦f : (X,A)→(Yi,Bi) emesurable.
Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.
E
xercice 2. (Tribus produits) Soient (X,A) et (Y ,B) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit deAetBla tribu not´eeA ⊗ B d´efinie parA ⊗ B=σ({A×B, A∈ A, B∈ B}).
On noteπX:X×Y →XetπY :X×Y →Y les projeions canoniques surXetY.
. Prouver queA ⊗ B=σ(πX, πY), autrement dit queA ⊗ B ela plus petite tribu rendantπX etπY mesurables.
. Soitf : (Z,C)→(X×Y ,A ⊗ B) une application. On ´ecritf(z) = (fX(z), fY(z)). Prouver que f e (C,A ⊗ B) mesurable si et seulementfX etfY sont respeivement (C,A) et (C,B) mesurables.
. Prouver queB(R) =B(R)⊗ B(R). On pourra admettre que siO(R) d´esigne l’ensemble des ou- verts deR, on a :
O(R) =
[
i∈I
Ui×Vi;Ui, Vi ouverts deR, Id´enombrable.
E
xercice 3.. Soit (E,A) un espace mesurable et (fn:E −→R)n≥ une suite de fonions mesurables. Montrer que l’ensemble desxtels que (fn(x))n≥admette une limite finie emesurable.
Indication :Pensez au crit`ere de ——.
. (a) On munitRde la diance discr`ete d´efinie pard(x, y) =1x,y.Quelle ealors la tribu bor´elienne ? E-ce que les tribus engendr´ees par les boules ouvertes et les boules ferm´ees sont la tribu bor´elienne ?
(b) (?) Soient (E,A) un espace mesurable, (X, d) un espace m´etrique et (fn: (E,A)→(X,B(X))n≥
une suite de fonions mesurables. On suppose que (fn)n≥ converge simplement vers une fonionf :E→X(c’e-`a-dire que pour toutx∈E,fn(x) converge versf(x) lorsquen→ ∞.
Montrer quef : (E,A)→(X,B(X)) emesurable.
E
xercice 4. Soient (X,A, µ) un espace mesur´e etf : (X,A)→(R,B(R)) une fonion mesurable.a) Montrer que siµ(X),, il exieA∈ Atel queµ(A)>etf soit born´ee surA.
b) Montrer que si µ({f ,}),, alors il exieA∈ Atel que µ(A)>et|f| soit minor´ee surApar une conanteriement positive.
E
xercice 5. (Th´eor`eme d’Egoroff) Soit (E,A, µ) un espace mesur´e tel que µ(E) < ∞. On consid`ere une suite (fn)n≥ de fonions r´eelles mesurables sur E etf une fonion r´eelle mesurable surE telles que fn→f µ-p.p. quandn→ ∞.. Montrer que pour toutk≥et pour toutη >il exien≥tel que
µ
[
j≥n
x∈E:|fj(x)−f(x)|> k
≤η.
. En d´eduire que pour toutε >, il exieA∈ Ade mesureµ(A)≤εtel quefn→f uniform´ement surE\A.
. Donner un contre-exemple `a ce r´esultat si l’on suppose queµ(E) =∞.
E
xercice 6. Soient (E,A, µ) un espace mesur´e avec µ non nulle etf : (E,A) →(R,B(R)) une fonion mesurable. Montrer que pour tout ε >il exie un ensemble A∈ A de mesureµ(A)>tel que pour tousx, y∈Aon ait|f(x)−f(y)|< ε.E
xercice 7. SoitC=C([,],R) l’espace des fonions continues sur [,] `a valeurs dans (R,B(R)), muni de la topologie de la convergence uniforme. On noteCla tribu bor´elienne deCetCla plus petite tribu deC rendant les applications de “projeion”f 7→f(x) mesurables pour toutx. Comparer les tribusC etC.3 – ` A chercher pour la prochaine fois
E
xercice 8. (Mesure image)Soient (E,A, µ) un espace mesur´e, (F,B) un espace mesurable etf :E →F une fonion mesurable. On rappelle que l’on d´efinit sur (F,B) une mesureνf appel´ee mesure image deµparf par
νf(B) =µ(f−(B)), B∈ B. Soitφ:F→R+une fonion mesurable. Montrer que
Z
F
φ(x)νf(dx) = Z
E
φ(f(x))µ(dx).
– Compl´ements (hors TD)
E
xercice 9. (Exemples et contre-exemples) R´epondre aux queions suivantes, si la r´eponse epositive donner une d´emonration, si la r´eponse e n´egative donner un contre-exemple. On munit R de la mesure de Lebesgue :. Un ouvert deRde mesure finie e-il born´e ?
. Un bor´elien de mesureriement positive e-il d’int´erieur non vide ?
. Un ouvert dense de [,] a-t-il une mesure?
. Deux compas hom´eomorphes ont-ils mˆeme mesure ? L’un peut-il ˆetre de mesure nulle et l’autre de mesure positive ?
. (?) Exie-t-il un bor´elienAdeRtel que pour tout intervalle ouvert born´e non videI, on ait les in´egalit´esries< λ(A∩I)< λ(I) ?
E
xercice 10. Soitf : [,]−→Rune fonion continue. Pour touty∈R, on noteN(y)∈Rle nombre de solutions de l’´equationf(x) =y. Montrer queN eune fonion mesurable.E
xercice 11. (?) Soitf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion mesurable telle quef(x+y) =f(x)+f(y) pour toutx, y∈R. Montrer quef elin´eaire.On pourra admettre le r ´esultat suivant (th´eor`eme de Lusin, prouv´e ult´erieurement) : si une foniong: ([a, b],B([a, b])→(R,B(R)) emesurable, pour tout >, il exie un compaK⊂[a, b] tel queµ([a, b]∩Kc)≤et la reriion deg `aK econtinue.
Fin
