Int´egration et probabilit´es
TD1 – Espaces mesur´es – Addendum au Corrig´e
Pour prouver queB(R)⊗B(R)⊂B(R2), on lisait dans le corrig´e :
Pour tous ouverts O,O0 de R, O × O0 est un ouvert de R2, et donc O× O0 ∈ B(R2). On en tire que F×G∈B(R2)pourF,G∈B(R), et doncB(R)⊗B(R)⊂B(R2).
D´etaillons l’´etape “On en tire queF×G∈B(R2)”.
On consid`ere la classeG1d´efinie par :
G1 ={A∈B(R); A×B∈B(R2)pour tout ouvertBdeR}.
Il est facile de voir queG1 est une tribu. CommeG1 contient les ouverts deR,G1 =B(R).
Ensuite, on consid`ere la classeG2d´efinie par :
G2 ={B∈B(R);A×B∈B(R2)pour toutA∈B(R)}.
Il est facile de voir queG2 est une tribu. D’apr`es ce qu’on a fait pr´ec´edemment,G2 contient les ouverts deR, et doncG2 =B(R).
On a donc bienF×G∈B(R2)pourF,G∈B(R).
Remarque. Une autre mani`ere de voir que B(R)⊗B(R) ⊂ B(R2) consiste `a dire que les deux projections R×R→Rsont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu bor´elienneB(R×R); la tribu produit ´etant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l’inclusion d´esir´ee.
Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4.
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