Licence de Math´ematiques.
Universit´e d’Artois. 2008-2009.
Session 1. Dur´ee 4h.
INT ´ EGRATION EXAMEN
Cours. (2 points)
Enoncer le th´eor`eme de Fubini.
Exercice 1. (5 points=0,5+0,5+(0,5+0,5+0,5)+2,5)
1) Soit f un fonction continue sur R et p´eriodique de p´eriode T > 0. Montrer que pour tout a ∈R, on a
T
Z
0
f(t)dt=
a+T
Z
a
f(t)dt.
Indication: utiliser Chasles puis faire un changement de variable.
Soit r >1.
2) Justifier que Ir =
π
Z
−π
ln
1−reit
dt est bien d´efinie.
3)a) Comparer Ir et
π
Z
−π
ln
1 +reit dt
b) En d´eduire que Ir= 1 2
π
Z
−π
ln
1−r2e2it dt.
c) En d´eduire que Ir = 1 2Ir2 4) D´eterminer lim
m→+∞
1
mIrm. En d´eduire la valeur de Ir.
Exercice 2. (7,5 points=1+0,5+1+1+2,5+1+0,5)
Cet exercice propose une m´ethode de calcul de l’int´egrale I =
+∞
Z
0
e−t2dt.
1) Justifier que I est bien d´efinie et co¨ıncide avec Z
R+
e2dλ1, o`u e2(t) = e−t2.
Pour x∈R+, on consid`ere gx(t) = e−xt2 1 +t2
2) Montrer quegx est (Lebesgue) λ1-int´egrable surR+.
On d´efinit alors dans la suite, pourx∈R+: G(x) = Z
R+
gxdλ1. 3) D´emontrer que G est continue sur R+.
4) Montrer que lim
x→+∞G(x) = 0. Que vaut G(0) ?
5) D´emontrer que Gest d´erivable sur R+∗. V´erifier queG est solution de l’´equation diff´erentielle suivante pour x >0:
G0(x)−G(x) = − I
√x.
6) En d´eduire que pour toutx≥0: e−xG(x) = π 2 −2I
√x
Z
0
e−u2du.
7) En d´eduireI.
Exercice 3. (4,5 points=1+3,5)
On consid`ere l’int´erieur de la demi-lemniscate de Bernoulli
B={(x, y)∈R2|x >0 et (x2+y2)2 < x2−y2}.
1) Justifier que B estλ2-mesurable et que λ2(B) est fini.
2) D´eterminer l’aire de B, i.e. calculer λ2(B). Indication: effectuer un changement de variable en polaire.
Exercice 4. (3 points=1,5+1,5)
Soit (X, T) un espace mesurable. On consid`ere deux mesures positives finies sur cet espace: µet ν. On veut montrer l’´equivalence entre
(*) ∀ε >0,∃δ >0, ∀A∈T: µ(A)≤δ =⇒ν(A)≤ε et
(**) ∀A ∈T: µ(A) = 0 =⇒ν(A) = 0
1) On suppose que (*) est faux. Montrer qu’il existe ε0 >0 et une suite d´ecroissante (Bn) de T tel que µ(Bn)≤2−n et ν(Bn)≥ε0.
Indication: nier (∗) pour obtenir desAk dont on prendra la r´eunion pourk > n.
2) Conclure.
2
