On consid`ere une discr´etisation de ce probl`eme avec des diff´erences finies : (P

Approximation des EDP1, master MIMSE Sp´e 1 Feuille 3 2014-2015

Convergence : diff´erences finies et volumes finis

Dans la suite, on consid`ere l’´equation aux d´eriv´ees partielles

−u⁰⁰(x) =f(x)

d´efinie sur l’intervalle ]0,1[ avecf continue. Les conditions aux limites sont :u(0) = 0, u(1) = 0.

On consid`ere une discr´etisation de ce probl`eme avec des diff´erences finies :

(P) =







−^ui+1−2u_h2^i+ui−1 =f_i 1≤i≤n−1, u₀ = 0,

un = 0.

avec h = 1/n,f_i =f(x_i) et x_i =i h. On note A^h_DF la matrice de discr´etisation du syst`eme lin´eaire ainsi d´efini.

a) Montrer que la matrice A^h_DF est monotone, c-a-d : A^h_DFy≥0⇒y≥0.

b) Trouver un vecteur v tel que (A^h_DFv)_i= 1 pour tout i.

c) En d´eduire une majoration de||(A^h_DF)⁻¹||_∞.

d) En d´eduire la convergence `a l’ordre 2 en norme max de la solution num´erique vers la solution du probl`eme.

On consid`ere maintenant une discr´etisation par volume finis du mˆeme probl`eme.

On appelle maillage volumes finis sur l’intervalle [0,1] un ensemble deN mailles (K_i)_i=1,...,N, telles que Ki =]xi−1/2, x_i+1/2[, avec x_1/2 = 0< x_3/2 < . . . < xi−1/2< x_i+1/2 < . . . < x_N+1/2 = 1. On note h_i =x_i+1/2−x_i−1/2.

On se donne aussi N points (x_i)_i=1,...,N situ´es dans les mailles K_i. On a donc : 0 =x_1/2 < x₁ < x_3/2 < . . . < x_i−1/2< x_i< x_i+1/2 < . . . < x_N+1/2 = 1

On noteh_i+1/2 =x_i+1−x_i, eth= max_i=1,...,Nh_i. Pour des raisons de notation on d´efinit aussix₀= 0 et x_N+1 = 1.

Pour obtenir un sch´ema volumes finis on part de la forme int´egrale de l’´equation elliptique, obtenue en l’int´egrant sur l’intervalleKi :

−u⁰(x_i+1/2) +u⁰(x_i−1/2) = Z

Ki

f(x)dx

1

On introduit les inconnues ui (une par maille, situ´ee au point xi) et les flux num´eriques F_i+1/2 =

−u_i+1−u_i

h_i+1/2 , i= 0, . . . , N. Les ´equations discr`etes sont donc : F_i+1/2−F_i−1/2 =h_if_i

avec fi = 1 hi

Z

Ki

f(x)dx. On peut ´ecrire le syst`eme lin´eaire obtenu sur la forme :

A^h_{V F}U_h=b_h

e) Montrer que ce syst`eme lin´eaire admet une unique solution.

Soitula solution exacte du probl`eme (P). On appelle ¯F_i+1/2=−u⁰(x_i+1/2) le flux exact enx_i+1/2, et F˜_i+1/2 =−u(x_i+1)−u(x_i)

h_i+1/2 l’approximation obtenue en utilisant la formule du flux num´erique avec les valeurs de la solution exacte. On dit que le flux num´erique est d’ordre p s’il existe C un r´eel positif, ne d´ependant que deu, tel que l’erreur de consistance sur le flux, d´efinie par

τ_i+1/2= ¯F_i+1/2−F˜_i+1/2 v´erifie

|τ_i+1/2| ≤C h^p.

f) Montrer que le flux num´erique F_i+1/2 =−u_i+1−u_i

h_i+1/2 est consistant d’ordre 1.

On note maintenante_i =u(x_i)−u_i pour i= 1, . . . , N.

g) Montrer que

n

X

i=0

(e_i+1−e_i)²

h_i+1/2 ≤Ch² et en d´eduire max_i=1,...,N|e_i| ≤Ch.

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