Approximation des EDP1, master MIMSE Sp´e 1 Feuille 2 2014-2015
Propri´et´es de la discr´etisation par diff´erences finies d’un probl`eme elliptique
Dans toute la suite, on consid`ere l’´equation aux d´eriv´ees partielles
−uxx =f d´efinie sur l’intervalle ]0,1[ avecf continue.
a) De quelles informations suppl´ementaires a-t-on besoin pour que le probl`eme soit bien d´efini ? On consid`ere une discr´etisation de ce probl`eme avec des diff´erences finies :
(P) =
−ui+1−2udxi2+ui−1 =fi 1≤i≤n−1 u0 = 0
un = 0 avec dx= 1/n etfi=f(xi) =f(i dx).
b) On qualifie usuellement ce type de diff´erences finies de ”centr´ees d’ordre 2”. Pourquoi ? In´egalit´e de Poincar´e
On admet le r´esultat suivant :
Pour toute fonction v∈C1[0,1] avec v(0) = 0, on a : Z 1
0
v2(x)dx≤ 1
√ 2
Z 1 0
v0(x)2dx On cherche `a montrer l’´equivalent discret de cette propri´et´e.
On d´efinit pour un vecteur de taillen+ 1 :
|v|1,dx= dx
n−1
X
i=0
(vi+1−vi dx )21/2
et pour un vecteur de taille n−1 :
||v||2,dx=n−1X
i=1
dx vi21/2
.
c) Laquelle est une semi-norme, laquelle est une norme ? Pourquoi un facteurdxapparait-il dans ces formules ?
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On consid`ere maintenant une suite de valeurs discr`etes : vi avec 0≤i≤ntelle que v0= 0.
d) Montrer que :
v2i ≤hXi−1
j=0
1 i hXi−1
j=0
(vj+1−vj)2 i
e) En d´eduire que :
||v||2,dx ≤
rn+ 1 2n |v|1,dx. Principe du maximum faible
f) On suppose que f <0. Montrer qu’alors la solution u du syst`eme lin´eaire (P) ne peut atteindre son maximum qu’en i= 0 ou i=n.
On admet maintenant le r´esultat suivant :
On suppose que u est solution deuxx = 0. Siu(0)≤M etu(1)≤M alorsu(x)≤M ∀x∈]0,1[.
g) Quelle serait la formulation du r´esultat ´equivalent pour la version discr`ete ? h) En utilisant la suite discr`etevi =ui+ x2i, avec >0, montrer ce r´esultat.
Valeurs propres
On s’int´eresse ici aux valeurs propres et solutions propres de l’op´erateur −uxx avec des conditions aux limites de Dirichlet homog`ene, et de sa version discr`ete (P), c’est-`a-dire aux couples (λ, u) tels que−uxx=λuavec u(0) =u(1) = 0 pour la version continue, ou tels que−ui+1−2udx2i+ui−1 =λui 1≤ i≤n−1, avecu0 =un= 0 pour la version discr`ete.
i) Montrer que les valeurs propres de ces op´erateurs sont positives, pour la version discr`ete et la version continue.
j) Donner la forme des fonctions propres et valeurs propres, dans le cas discret et continu.
k) Etudier la convergence des valeurs discr`etes vers les valeurs continues, quand dx→0.
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