IRS 2007-2008 Groupe BMW Universit´e Paris 8
SoientP ={A, B, C, D}un ensemble qui contient quatre variables propositionnelles,A = P∪ {¬,∧,∨,⇒,⇔,),(}. On d´esigne parM(A) l’ensemble des mots `a l’alphabetA et parF l’ensemble des formules `a l’alphabetA. Pour tout motM dansM(A), on d´esigne par
— lg[M] la longueur de M,
— o[M] le nombre d’occurences de la parenth`ese ouvrante ( dans M,
— c[M] le nombre d’occurences des symboles de connecteurs ¬,∧,∨,⇒et⇔dansM,
— n[M] le nombre d’occurences du symbole de n´egation¬dansM. SiF est une formule dansF, on d´esigne par h[F] la hauteur deF.
Exercice (` a r´ epondre directement sur les lignes)
1) La hauteur de la formuleAest .
2) SoitF la formule¬((A⇔B)⇒(C∧ ¬D)). D´eterminer les valeurs suivantes :
lg[F] = , h[F] = , c[F] = .
Probl` eme (` a r´ epondre dans des feuilles diff´ erentes)
I. On consid`ere l’argument suivant :
Soit elle n’est pas chez elle, soit elle ne r´epond pas au t´el´ephone. Mais si elle n’est pas chez elle, alors, elle a ´et´e kidnapp´ee. Et si elle ne r´epond pas au t´el´ephone, c’est qu’elle court un autre danger. Donc soit elle a ´et´e kidnapp´ee, soit elle est en danger.
On d´esigne par
A=“elle est chez elle”,
B =“elle r´epond au t´el´ephone”, C=“elle a ´et´e kidnapp´ee”, D=“elle court un autre danger”.
1) Exprimer l’argument au-dessus en une formule propositionnelleF. 2) D´eterminer l’arbre de decomposition (sous form simplifi´ee) deF. 3) L’argument comme ci-dessus est-il une tautologie ? Pourquoi ?
II. Consid´erons la formule
F= (((B⇒C)⇒A)⇔(¬B∧ ¬C)).
1) D´eterminer l’arbre de d´ecomposition sous forme simplifi´ee et la hauteur de la formuleF.
2) D´eterminer le tableau de valeurs de v´erit´e deF.
3) En d´eduire la formule sous forme normale disjonctive canonique et la formule sous forme normale conjonctive canonique qui sont logiquement ´equivalentes `a F.
III. SoitF une formule quelconque dans F.
1) Montrer que h[F]≤c[F].
2) Montrer que c[F] = o[F] + n[F].
3) Montrer que lg[F] = n[F] + 4o[F] + 1.
4) En d´eduire que lg[F] = c[F] + 3o[F] + 1.
