Elle n’est donc pas génératrice

ECE 2 MATHEMATIQUES Interro 1 - durée : 10’

20 septembre 2019

1. — On a OnM =On=M On, doncOn∈F.

— Soit(M, N)∈F²,λ∈R. On a :

A(λM +N) =λAM +AN =λM A+N A= (λM +N)A, doncλM+N ∈F.

— Donc,F est un s.e.v. deM_n(R).

2. On a dim(M₂(R)) = 4, or cette famille ne comporte que3éléments. Elle n’est donc pas génératrice.

3. rg(ui)_16i6n=dim(V ect(ui)_16i6n).

4. Soitu∈E. Alors, puisque(ui)_16i6nest génératrice deE, ∃(λ_i)_16i6n / u=

n

X

i=1

λiui. Mais alors, on a aussi u=

n

X

i=1

λiui+ 0×un+1.

On exprimeucomme combinaison linéaire des(u_i)_16i6n+1, donc cette famille est également génératrice.

5. Pour commencer, remarquons quef etgsont bien de classeC^∞surR.

On résoutaf+bg= 0(fonction nulle).

On doit donc avoir ∀x∈R, ax+be^x= 0.

Prenons par exemplex= 0. On obtient a×0 +be⁰= 0, ie b= 0 . Donc, on se retrouve avecax= 0.

Prenons alorsx= 1. Cela donne aussi a= 0 . La famille de fonctions(f, g)est donc libre.

ECE 2 1/1 Lycée François Couperin