IRS 2007-2008 groupe BMW Universit´e Paris 8
Nom : Pr´enom : Num´ero d’´etudiant :
SoientP ={A, B, C, D} un ensemble qui contient quatre variables propositionnelles, A =P∪ {¬,∧,∨,⇒,⇔,),(}. On d´esigne parM(A) l’ensemble des mots `a l’alphabetA et parF l’ensemble des formules `a l’alphabetA. Pour tout motM dansM(A), on d´esigne par
— lg[M] la longueur de M,
— o[M] le nombre d’occurences de la parenth`ese ouvrante ( dans M,
— f[M] le nombre d’occurences de la parenth`ese fermante ) dans M,
— n[M] le nombre d’occurences du symbole de n´egation¬dansM.
SiF est une formule dansF, on d´esigne par h[F] la hauteur deF. SiM est un mot dans M(A) et si 0≤i≤lg[M] est un entier, on d´esigne parMi le segment initial deM de longueuri et par di[M] l’entier o[Mi]−f[Mi], on note en outre d[M] = max
0≤i≤ndi[M].
Exercice (` a r´ epondre directement sur les lignes)
1) La longueur du mot vide est .
2) SoitF la formule (¬((A⇒B)∨C)⇔ ¬D). D´eterminer les valeurs suivantes :
lg[F] = , h[F] = , d[F] = .
Probl` eme (` a r´ epondre dans des feuilles diff´ erentes)
I. On consid`ere l’argument suivant :
Soit Pierre aime Marie, soit Marie aime Pierre. Mais si Marie n’aime pas Pierre, alors Pierre n’est pas content. Une fois Pierre n’est pas content, il n’aime pas Marie. Donc Pierre et Marie s’aiment l’un l’autre.
On d´esigne par
A=“Pierre aime Marie”, B =“Marie aime Pierre”, C=“Pierre est content”.
1) Exprimer l’argument ci-dessus en une formule propositionnelleF. 2) D´eterminer l’arbre de decomposition (sous form simplifi´ee) deF. 3) L’argument ci-dessus est-il une tautologie ? Pourquoi ?
II. Consid´erons la formule
F= ((B⇒C)⇒(A⇔(¬B∧C))).
1) D´eterminer l’arbre de d´ecomposition sous forme simplifi´ee et la hauteur de la formuleF.
2) D´eterminer le tableau de valeurs de v´erit´e deF.
3) En d´eduire la formule sous forme normale disjonctive canonique et la formule sous forme normale conjonctive canonique qui sont logiquement ´equivalentes `a F.
III. ´Etude de la fonction d[·].
1) En utilisant un r´esultat dans le cours, montrer que d[F]≥0 pour toute formuleF ∈F. 2) SoientF et Gdeux formules etα∈ {∧,∨,⇒,⇔}. Exprimer d[(F αG)] en fonction de d[F]
et de d[G].
3) Montrer que, pour toute formuleF dansF, on a d[F]≤h[F]≤d[F] + n[F].
4) Montrer que, pour toute formuleF, il existe une formuleGqui est logiquement
´equivalente `a F et telle que h[G]≤d[F] + 1.
5) Montrer que, pour tout formuleF dansF, on a o[F]≤2d[F]−1.
