1 M´ ethode des diff´ erences finies

(1)

Equations aux d´ ´ eriv´ ees partielles

Chapitre 2 : Schémas aux différences finies, équation d’advection

Lucie Le Briquer

Sommaire

1 M´ethode des diff´erences finies 1

2 Convergence, consistance 2

3 Stabilit´e 5

4 Th´eor`eme de Lax-Richtruyer 6

5 Condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 6

6 Analyse de Von Neumann 7

7 Annexe : Transform´ee de Fourier 8

8 Th´eorie des polynˆomes de Schur 9

Exercice 1.

( un+1=¹₂(un+_u²

n) u0= 1

Montrons queun→√

2 et que le nombre de décimales deun double à chaque itération.

1 M´ ethode des diff´ erences finies

Dans le cadre de ce cours, on va discrétiser des problèmes continus. Néanmoins, en pratique dans la recherche, il est plus intéressant de rendre continu un problème discret.

Reprenons l’´equation d’advection :

∂u ∂u

(2)

On considère un maillage du plan caractérisé par ∆xet ∆t. Discrétisons les termes de (1) Schéma aux différences finies (SDF) :

V_jⁿ⁺¹−V_jⁿ

∆t +cV_j+1ⁿ −V_jⁿ

∆x = 0 (décentré à droite) (2) V_jⁿ⁺¹−V_jⁿ

∆t +cV_jⁿ−V_j−1ⁿ

∆x = 0 (décentré à gauche) (3) V_jⁿ⁺¹−V_jⁿ

∆t +cV_j+1ⁿ −V_j−1ⁿ

2∆x = 0 (centr´e) (4)

La pire des trois méthodes ci-dessus est la méthode centrée : son exécution algorithmique se fait enO(∆t+ ∆x²) alors que les méthodes décentrées s’exécutent enO(∆t+ ∆x).

En pratique, on utilisera :

– la décentrée à gauche (3) quandc≤0, appelée décentrement amont ouupwind – la décentrée à droite (2) quandc≥0

– la centr´ee (4) quandc= 0 D’autres m´ethodes :

Saute-Mouton (Leap Frog) V_jⁿ⁺¹−V_jⁿ⁻¹

2∆x = 0 (5)

Lax-Friedrichs V_jⁿ⁺¹−^V

n j+1+V_j−1ⁿ

2

2∆x = 0 (6)

Cette dernière méthode étant difficile en pratique.

Les sch´emas (3), (2), (4), (6) s’´ecrivent sous forme barycentrique : V_jⁿ⁺¹=αV_j−1ⁿ +βV_jⁿ+γV_j+1ⁿ α+β+γ= 1 α, β, γ fonctions dec,∆t,∆x.

2 Convergence, consistance

Soitu(t, x) solution d’une EDP lin´eaire etP(T, X) =Pn

i,j=0TⁱX^j. On s’int´eresse `a :

P(∂t, ∂x)u=f (7)

Si on reprend l’´equation (1), on a P(T, X) =T+cX.

(3)

Un schéma à un pas de temps approchant l’EDP (7) estconvergent si pour tout usolution de (7) et (V_jⁿ) solution du schéma vérifiant :

V_j⁰ −→

jh→xu(0, x)

On a

V_jⁿ −→

nk→t jh→xu(t, x) D´efinition 1(sch´ema convergent)

Rappels.

– h∼∆xetk∼∆t

– schéma aux différences finies : V_jⁿ⁺¹=H((v_j−mⁿ )_m∈_Z) où∃ r∈Ntel que : V_jⁿ⁺¹=H((v_j−rⁿ , ..., vⁿ_j+r))

Soit une équation de type (7) et P_h,k(v) =g un SDF. On dit que le schéma est consistant avec l’EDP si∀φfonction régulière de xet det on a :

P(∂t, ∂x)φ−P_h,kφ−→0 en chaque point de la grille lorsque (h, k)−→0

D´efinition 2(sch´ema consistant)

k +cV_j+1ⁿ −V_j−1ⁿ

h =f(jh, nk) Suppl´ement au chapitre 1.

On étudie les équations de Burgers généralisées :

∂u

∂t +∂f(u)

∂x = 0

Toutes les caractéristiques sont des droites, et la solution y est constante. Les droites peuvent néanmoins se croiser : cf TD1. On est dans une situation où, si l’on prend un point, on veut déterminer qui est le “père” de ce point (i.e. de quelle droite est issu ce point).

Pourtant, on ne peut pas choisir si facilement si on prend un point d’intersection de deux droites : il n’y a pas de solution au sens classique.

Que faire ? En pratique, on peut utiliser un SDF.

(4)

Exemple.

( dξ(t)

dt = sin(ξ(t))

ξ(0) = 1 (8)

Doncξ(t) = 1 +Rt

0sin(ξ(s))ds On pose alors Φ(η)(t) = 1 +Rt

0sin(η(s))ds et on se ramène à l’étude des points fixes de Φ, c’est-à-dire trouverη∈ C⁰(R,R) tel que Φ(η) =η

On peut chercher une solution dans C^∞(R,R). Cette m´ethode est pertinente car elle offre des solutions. N´eanmoins :

– si l’espace est trop large, on perd

– si l’espace est trop restreint, on perd la solution

On peut penser à utiliser une suite d’itérées de Φ et se servir du critère de Cauchy pour montre une convergence simple sur la suite de fonctions (le critère de Cauchy apporte la stabilité pour obtenir la convergence).

Il nous faut ´egalement laconsistance de la solution : on va se servir de Taylor pour cela.

Exemple.

∆x = 0

Si A= Φ(j∆x,(n+ 1)∆t)−Φ(j∆x, n∆t)

∆t +cΦ((j+ 1)∆x,∆t)−Φ(j∆x, n∆t)

∆x Alors A= ∂Φ

∂t(j∆x, n∆t) +O(∆t) +c∂Φ

∂x(j∆x, n∆t) +O(∆x) Par d´eveloppement de Taylor.

Donc la différence est enO(k+ch). Et dans le cas du chemin centré on aura même unO(k+h²) On dit que le schéma de droite est d’ordre 1 en espace et en temps.

On dit que le sch´ema centr´e est d’ordre 1 en temps et d’ordre 2 en espace.

Remarque.

On n’a pas consistance⇒convergence

Prenons :

∂u

∂t +∂f(u)

∂x = 0 c >0 Et le sch´ema :

∆x = 0

La sch´ema est consistant (d’ordre 1) avec l’EDP et non convergent.

Propri´et´e 1

(5)

Preuve.

On prend u⁰ la fonction égale à 1 sur [−1,0] et nulle ailleurs. On pose V_j⁰ = u⁰(j∆x) : la condition de définition de la convergence est satisfaite.

Lemme : V_jⁿ = 0 pourj≥0,n≥0 (se prouve par r´ecurrence surn) u(x, t) =u⁰(x−ct) =

( 1 si −1< x−ct <0 0 sinon

On n’a donc pas la convergence. Néanmoins, si on rajoute la stabilité, on peut aboutir à la convergence.

3 Stabilit´ e

Soit (v_jⁿ) une suite de suite. On pose V⁰ = (v_j⁰)_j∈Z et Vⁿ = (vⁿ_j)_j∈Z. (Vⁿ)_n∈N est dans un espace de suite, mettons L² par exemple (espace des suites (a_n)_n telles queP

n|a²_n| converge).

Cet espace est int´eressant puisqu’on peut le munir d’un produit scalaire et en faire un espace de Hilbert.

Pk,h(vⁿ_j) = 0 pour une ´equation du premier ordre en temps. Elle eststable si :

∃M ∈N, h₀>0, k₀>0 tq∀T >0, ∃C, h :X

j∈Z

|vⁿ_j|²≤Ch

M

X

m=0

X

j∈Z

|v^m_j |²

Pour h≤h0, k≤k0, nk≤T, on pose :

k(vj)j∈Zk=X

j∈Z

|vj|²

Définition 3(stabilité d’une équation du premier ordre en temps)

Remarque.

On définit unschémaPk,h comme étant une application linéaire sur les suites.

Ph,k(φ)ⁿ_j =φ(n∆t, j∆x)

Exemples.

v_jⁿ⁺¹=αvⁿ_j +βv_j+1ⁿ

C’est un schéma décentré à droite : α= 1 + ^c∆t_∆x et β=−^c∆t_∆x X



X X X



(6)

Donc,

hX

j

|v_jⁿ⁺¹|²≤h(|α|+|β|)²X

j

|vⁿ_j|²

– sic >0,|α|+|β|>1

– sic <0,|α|+|β|<1 ce qui ´equivaut `a−^c∆t_∆x ≤1

4 Th´ eor` eme de Lax-Richtmyer

Un SDF consistant avec une EDP dont le probl`eme de Cauchy est bien pos´e est convergent si et seulement si il est stable

Th´eor`eme 2 (Lax-Richtmyer)

consistance + stabilité⇒convergence consistance + convergence ⇒stabilité FAUX : consistance + stabilité⇐convergence Corollaire 3

Remarque.

Il existe des sch´emas convergents, stables et non consistants.

5 Condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)

Cours du 27 f´evrier

– explicite :

∃r vⁿ⁺¹_j =

r

X

k=1

αj+k,jvⁿ_j+k

– (pr´e-)sch´ema implicite :

r

X

l=−r

βj+lv_j+k,jⁿ⁺¹ +

r

X

k=−r

αj+k,jv_j+kⁿ = 0 D´efinition 4(SDF lin´eaire)

Remarque.

Appelé pré-schéma puisque rien ne garantit que la matrice est inversible, donc ni l’existence, ni l’unicité d’une solution pour lesvⁿ⁺¹_j . En effet, le pré-schéma implicite se réécrit :

Vⁿ= (v_jⁿ)_j∈_Z L₁Vⁿ⁺¹+L₂Vⁿ = 0 L₁ inversible ? ⇒conditions sur lesB_i,j.

(7)

Remarque.

Schémas dupî`ême ordre en temps :

p

X

q=0

L_qV^n+q = 0

Sch´ema explicite lin´eaire :

vⁿ⁺¹_j =

n

X

i=0

X

m∈Z

α_imv_m+jⁿ⁻ⁱ

avec pour chaqueifix´e{m|αim6= 0} est fini.

Un sch´ema convergent pour∂_tu+a∂_xu= 0 de la forme : v_jⁿ⁺¹=αvⁿ_j−1+βv_jⁿ+γvⁿ_j+1 avec ^k_h constant n’est stable que si :

ak h

≤1 Th´eor`eme 4 (CFL)

Dans notre schéma, on peut faire apparaˆıtre deux quantités : les cônes de dépendance physique et numérique. Le premier découle de l’équation différentielle étudiée : en un pointu(h∆x, k∆t) les pentes du cône (du triangle ici) sont _|a|¹ ,⁻¹_|a|.

Le second cône dépend des paramètres du maillage : en un pointu(h∆x, k∆t) les pentes du cône (du triangle ici) sont ^k_h,^−k_h .

Pour qu’il y ait convergence, il faut que le cône de dépendance physique soit inclus dans le cône de dépendance numérique.

Lemme 5

6 Analyse de Von Neumann

On effectue les remplacements suivant dans notre sch´ema : vⁿ_j −→ 1 v_j+1ⁿ −→ e^iθ vⁿ_j−1 −→ e^−iθ vⁿ⁺¹_j −→ g v_j+jⁿ⁺ⁿ⁰

0 −→ e^ij⁰^θgⁿ⁰

avecg(θ) une solution. On obtient une relation lin´eaire entre les puissances deg etθ.

(8)

Le sch´ema est stable au sens de Von Neumann si toutes les solutions v´erifient :

|g(θ)| ≤1 ∀θ D´efinition 5(stabilit´e de Von Neumann)

7 Annexe : Transform´ ee de Fourier

C’est une application qui transforme une fonctionf ∈L¹(R) en une autre fonction : f −→fb

F(f)(x) =fb(ξ) = 1

√2π Z +∞

−∞

f(x)e^−ixξdx F:L¹(R)−→L^∞. Et alors :

f(ξ) =F⁻¹(fb)(ξ) = 1

√2π Z +∞

−∞

fb(ξ)e^ixξdx

La transformée de Fourier discrète d’une fonction périodique de périodeP f va associer une suite de points définis par :

cf_n= Z P /2

−P /2

f(x)e^−inxdx On peut songer avec nos SDF, `a la transformation inverse :

(vj)j∈Z−→v(ξ)b 1

√ 2π

X

j∈Z

vje^−ijhξ

Et alors, on a :

vj= h

√2π Z π/h

−π/hv(ξ)eb ^ijhξdξ

– isom´etrie : kfbk_L2 =kfk_L2

– F(f∗g) =F(f)× F(g) – F(f)(x+a) =eîaxF(f)(x) Propriété 6

Remarque.

On notef(x+a) =τaf

(9)

8 Th´ eorie des polynˆ omes de Schur

Cours du 6 mars

On poseφ=Pd

i=0aizⁱ. φest un polynˆome :

– de Schur si toutes ses racines (not´eesrl) v´erifient|rl|<1

– de Von Neumann si toutes ses racines (not´eesrl) v´erifient|rl| ≤1

– de Von Neumann simple si toutes ses racines sur le cercle unité sont simples Définition 6(polynôme de Schur/ de VN)

On pose :

φ^∗(z) =z^dφ 1

¯ z

=

d

X

l=0

a_d−lz^l

Posonsφ0un polynˆome. On d´efinit alors la suite de Schur deφ0par :

∀j, φj+1=φ^∗_j(0)φ_j(z)−φ_j(0)φ^∗_j(z) z

φj est un polynˆome de Schur de degr´e exactdsi et seulement si :

φ_j−1 est un polynˆome de degr´e exactd−1 et|φj(0)| ≤ |φ^∗_j(0)|

Th´eor`eme 7

φ_j est un polynˆome de Von Neumann simple si et seulement si :

– soitφ_j−1est un polynˆome de Von Neumann simple et|φ_j(0)|<|φ^∗_j(0)|

– soitφ_j−1est congru à 0 etφ⁰_j est un polynôme de Schur Théorème 8

Soientφet ψdeux fonctions analytiques `a l’int´erieur d’une courbeC telles que :

|φ(z)−ψ(z)|< ψ(z) ∀z∈C Alorsφetψont le même nombre de zéros à l’intérieur deC.

Th´eor`eme 9