On consid`ere la m´ethode it´erative : (D+H)x(k+12

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2009-2010

Licence LM 335 2nd semestre

Examen

juin 2010 (2`eme session) dur´ee : 2 heures

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Exercice 1

R´esoudre au sens des moindres carr´es le syst`eme Ax=b o`u

A=









1 2

2 1

1 −1

−1 2









, b=







 1 0 1 0







 .

Ce probl`eme a-t-il une solution unique ? Mˆemes questions pour

A=









1 1

2 2

1 1

−1 −1









, b=







 1 0 1 0







 .

Exercice 2

Effectuer la factorisation LU de la matrice

A=









2 3 0 0

−2 −4 2 0

0 −1 4 −1

0 0 −2 2







 .

Puis, utiliser cette factorisation pour r´esoudre le syst`eme lin´eaireAx=bavecb = (−7,8,0,2)^T.

Exercice 3

Soit A une matrice n×n r´eelle sym´etrique et d´efinie positive. On s’int´eresse `a la r´esolution du probl`eme Ax=b, o`u b est un vecteur de Rⁿ.

1. On d´ecompose la matrice A en

A=D+H+V,

o`uD=cI, c >0 etH etV sont deux matrices sym´etriques, telles que les matricesD+H et D+V soient inversibles. On consid`ere la m´ethode it´erative :

(D+H)x^(k+12) = −V x^(k)+b, (1)

(D+V)x^(k+1) = −Hx^(k+12)+b, (2)

avec x⁽⁰⁾ ∈Rⁿ donn´e.

1

(a) D´eterminer une matrice M et un vecteur ctels que x^(k+1) =M x^(k)+c.

(b) Montrer que

k→∞lim x^(k) =x⇐⇒%

(D+V)⁻¹H(D+H)⁻¹V

<1.

(c) On pose B =D⁻¹H etC =D⁻¹V. Montrer que

%

(D+V)⁻¹H(D+H)⁻¹V

=%

B(I+B)⁻¹C(I+C)⁻¹ .

(d) Montrer que les matrices B(I +B)⁻¹ et C(I+C)⁻¹ sont sym´etriques. En d´eduire que :

%

(D+V)⁻¹H(D+H)⁻¹V

≤%

B(I+B)⁻¹

%

C(I+C)⁻¹ .

(e) On suppose que la matrice ¹₂I+B est d´efinie positive. Montrer que

%

B(I+B)⁻¹

<1.

(f) En d´eduire que la m´ethode it´erative (1)-(2) converge d`es que les matrices ¹₂D+H et ¹₂D+V sont d´efinies positives.

2. On consid`ere maintenant la d´ecomposition A =M −N = P −Q, o`u les matrices M et P sont inversibles et la m´ethode it´erative :

M x^(k+12) = N x^(k)+b, (3)

P x^(k+1) = Qx^(k+12)+b, (4)

avec x⁽⁰⁾ ∈Rⁿ donn´e. On pose

e^(k) = x^(k)−x, η^(k) =M⁻¹Ae^(k),

e^(k+12) = x^(k+12)−x, η^(k+12) =P⁻¹Ae^(k+12). (a) Montrer que η^(k) =e^(k)−e^(k+12).

(b) Montrer que

ke^(k+12)k²_A− ke^(k)k²_A=−h(M^T +N)η^(k), η^(k)i, o`uk.k_A d´esigne la norme d´efinie par A, kuk²_A=hAu, ui.

(c) Calculer

ke^(k+1)k²_A− ke^(k+12)k²_A.

(d) On suppose que les matrices M+N^T etP +Q^T sont d´efinies positives. Montrer que la m´ethode (3)-(4) convergente.

2