Exercice 3: On consid`ere la fonctionf(x, y

L1 PCST Printemps 2016 S2 Math´ematiques

Contrˆole du 26 f´evrier 2016

Dur´ee 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e

Exercice 1: Soit f :R² →R une fonction de deux variables r´eelles continue en point (a, b)∈R². (a) D_f, le domaine de d´efinition de f, est un sous-ensemble de : i) R ii)R² iii) R³.

(b) La ligne de niveauk, de f, est un sous-ensemble de : i) R ii) R² iii) R³. (c) Le graph de f est un sous-ensemble de : i)R ii)R² iii) R³.

(d) Laquelle de ces proposition est vraie (justifier)

i) lim(x,y)→(a,b)f(x, y) existe mais on ne connait pas sa valeur ii) lim(x,y)→(a,b)f(x, y) existe et on connait sa valeur

iii) lim(x,y)→(a,b)f(x, y) n’existe pas

iv) on ne peut rien conclure sur l’existence de lim(x,y)→(a,b)f(x, y)

Exercice 2: D´eterminer et repr´esenter la domaine de d´efiniton de la fonction f(x, y) =√

x+y+ ln(y−x).

Exercice 3: On consid`ere la fonctionf(x, y) = ln(x^1/4+y^1/6−1) et sa surfaceSd’´equationz =f(x, y).

1. D´eterminer les d´eriv´ees partielles de f pour le point (a, b)∈D_f. 2. D´eterminer l’´equation du plan tangent au point (1,1,0).

3. Donner une valeur approch´ee de ln((1,02)^1/4+ (0,96)^1/6−1).

Exercice 4: On consid`ere la fonction f(x, y) = x³−3x+y²x. Trouver les 4 points critiques de f et leurs natures.

Exercice 5: On d´finit la fonction

f(x, y) =

xy

x²+y² si (x, y)6= (0,0)

0 sinon

1. Pourquoif est de classe C¹ surR²\ {(0,0)}. Trouver les expressions de f_x⁰ etf_y⁰ surR²\ {(0,0)}.

2. Montrer que f_x⁰(0,0) et f_y⁰(0,0) existent, mais que f n’est pas de classe C¹ au voisinage de (0,0).