On consid`ere la fonctionf :]0

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Universit´e de Cergy-Pontoise Date: Juin 2018

Examen L1-MS1-PCST

Dur´ee: 2h , les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es Exercice 1.

(a) Calculer les limites suivantes:

(i) limx→+∞ 3x²−2x+5

4x²+x+7x+1. (ii) limx→+∞(lnx) e^x . (iii) limx→0

sin(x)−x+^x3

6

x⁵ .

(b) Lin´eariser la fonction (cos(x))². Puis en d´eduire la valeur de l’int´egrale Z 2π

0

(cos(x))²dx.

(c) Calculer l’int´egrale R^π₂

0 x²sin(x)dx.

Exercice 2.

On consid`ere la fonctionf :]0; +∞[→Rd´efinie par f(x) =ln(e^x−1).

(i) Justifier bri`evement quef est continue et d´erivable.

(ii) Calculer f⁰(x) et ´etudier les variations def(x).

(iii) Montrer quef est une bijection de ]0; +∞[ dansR.

(iv) On consid`ere l’´equation (ln(e^x −1))² −9 = 0, combien de solutions y-a-t-il? Justifier.

Exercice 3.

On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) = 1−1

2sin(x)−x.

(i) Etudier la variation de la fonction f. Puis en d´eduire qu’il existe un uniquel∈Rtel que 1−¹₂sin(l) =l.

(ii) Justifier que l∈[0; 1].

Soit (u_n)n∈N la suite d´efinie par u₀ = 0 et u_n+1 = 1−¹₂sin(u_n), pour tout n∈N.

2

(iii) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n∈N, 0≤un≤1.

(iv) D´emontrer que pour toutn∈N,

|un+1−l|≤ 1

2 |un−l|. En d´eduire que ∀n∈N,

|un−l|≤(1

2)ⁿ|u0−l|.

(v) Est ce que la suite (u_n)n∈N converge? Si oui, quelle est sa limite?

Exercice 4.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y⁰(t)−y(t) =t, o`uy(t) est une fonction d´erivable de la variable t.

(i) D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle homog`ene y⁰(t)−y(t) = 0.

(ii) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation initiale.

(iii) En d´eduire la solution g´en´erale de l’´equation initiale.

Exercice 5.

R´esoudre dansC l’´equation: z⁴ = 1 +i.