Pour N = 1 et I = R , on consid` ere le flot ϕ 0 en 0 de l’´ equation diff´ erentielle scalaire (1)

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Appliqu´ ees

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Travaux Dirig´ es no. 8 Flot

Exercice 1

Pour N = 1 et I = R , on consid` ere le flot ϕ ⁰ en 0 de l’´ equation diff´ erentielle scalaire (1)

u ⁰ = u ² u(0) = x ₀ D´ eterminer explicitement ϕ ⁰ (t, x) et son domaine D ⁰ . Exercice 2

Si f = (f 1 , . . . , f n ) : R ⁿ → R ⁿ on rappelle que l’op´ erateur de divergence est d´ efini par divf =

n

X

i=1

∂ x

f i .

Soit ϕ ^t

le flot associ´ e ` a une ´ equation diff´ erentielle u ⁰ = f(t, u) sur R ⁿ . On suppose que f v´ erifie

div x f (t, x) = 0 ∀(t, x) ∈ I × U.

Montrer alors que la diff´ erentielle du flot par rapport ` a x est de d´ eterminant 1.

Exercice 3

(Examen 2011 2` eme session) Soit G : R × R ^N → R ^N une application de classe C ² . Pour t ∈ R on note φ _t : R ^N → R ^N l’application d´ efinie par φ _t (x) = G(t, x). On supposera que

(a) pour tout t ∈ R , φ _t est une bijection de R ^N dans R ^N ;

(b) φ t+s (x) = φ t (φ s (x)) = φ s (φ t (x)) pour tous s, t ∈ R et x ∈ R ^N ; 1. Montrer que φ ₀ (x) = x pour tout x ∈ R ^N .

2. Montrer que pour tout t ∈ R, φ t est un diff´ eomorphisme de classe C ² de R ^N dans R ^N .

On consid` ere maintenant l’application f : R ^N → R ^N d´ efinie par f(x) = ∂G

∂t (0, x) , et on s’int´ eresse au probl` eme de Cauchy

( u ⁰ = f (u)

u(0) = x (2)

o` u x ∈ R ^N est donn´ e arbitraire.

3. Montrer que le probl` eme (2) admet une unique solution maximale u.

4. En utilisant la propri´ et´ e (b), montrer que la solution u du probl` eme (2) est donn´ ee par u(t) = G(t, x).

Exercice 4

On consid` ere une population animale s´ epar´ ee en J juv´ eniles et A adultes. La dynamique de ces populations est donn´ ee par

(1)







J ⁰ = αA − J A ⁰ = J − βA ²

(J (0), A(0)) = (J 0 , A 0 ) ∈ R ² +

avec α > 0 et β > 0. On note Φ _t le flot associ´ e au syst` eme (1).

1. Montrer que A et J restent toujours positifs.

2. Trouver les points d’´ equilibre du syst` eme (1).

3. Montrer que

Ψ(J, A) = 1

2 (J − βA ² ) ² + β

3 A ³ − α 2 A ²

est une fonction de Lyapunov pour le syst` eme (1). En d´ eduire que toutes les trajec- toires existent sur [0, +∞[.

Exercice 5

On consid` ere l’´ equation autonome (1)

x ⁰ = F (x) x(0) = x 0

avec F globalement Lipschitzienne sur R ⁿ .

1. Soit K un ferm´ e de R ⁿ . On suppose que le bord ∂K de K est invariant par le flot de F, c’est-` a-dire que pour tout x <sub>0</sub> ∈ ∂K , une solution de (1) est enti` erement contenue dans ∂K . Montrer que si x(t) est une solution de (1) avec x ₀ ∈ K, alors pour tout t > 0, x(t) ∈ K.

2. Exemple : pour tout R > 0 on pose K _R = ∂B(0, R) ⊂ R ⁿ . On suppose de plus que hx, F (x)i = 0 pour tout x 6= 0. Donner un exemple d’une telle fonction F en dimension plus grande que 1, puis chercher une int´ egrale premi` ere pour montrer que K _R est invariant par le flot de (1).

3. Soit K un ferm´ e de R ⁿ . On suppose cette fois ci que le champ de vecteur F est entrant sur ∂K, c’est-` a-dire que pour tout x 1 ∈ ∂K, il existe un voisinage O 1 de x 1 , un C ¹ -diff´ eomorphisme h de O 1 dans un voisinage O 2 de 0 dans R ⁿ et une forme lin´ eaire φ ∈ C ⁰ ( R ⁿ , R ) tels que h(O ₁ ∩ K) = {z ∈ O ₂ ; φ(z) ≥ 0} et φ(Dh ◦ F(y)) ≥ 0 pour tout y ∈ O 1 . Soit x(t) une solution de (1) avec x 0 ∈ K. Montrer que x(t) reste dans K pour tout t ∈ I ∩ [t 0 , +∞[.

Exercice 6

Soit x ⁰ (t) = f (x(t)) une ´ equation diff´ erentielle (E) sur R ⁿ avec f globalement lipschitzi- enne, et Φ _t le flot associ´ e au champ de vecteur f , i.e. Φ _t (x ₀ ) = x(t), o` u x(t) est solution

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de (E) avec donn´ ee initiale x(0) = x 0 . On appelle ensemble ω-limite de x 0 l’ensemble ω(x ₀ ) = \

t≥0

[

s≥t

Φ _t (x ₀ ) = {x ^∗ ∈ R ⁿ ; ∃t _n → +∞ ; Φ _t

x ₀ → x ^∗ }.

1. Montrer que si l’orbite Orb(x 0 ) est born´ ee, alors ω(x 0 ) est un compact non vide connexe et invariant i.e. Φ _t ω(x ₀ ) = ω(x ₀ ).

2. Montrer que si (E) est de type “flot-gradient”, alors Φ t n’a pas d’orbites p´ eriodiques autres que les solutions stationnaires.

3. On suppose qu’il existe une fonction de Ljapunov “stricte” Ψ pour le syst` eme (E), c’est ` a dire

∀x ∈ R ⁿ , h∇Ψ(x), f (x)i < 0 sauf si f (x) = 0, et pour tout M, l’ensemble {Ψ(x) ≤ M } est compact.

(a) Justifier le fait que le champ de vecteur f soit complet.

(b) Montrer que Ψ est constante sur l’ensemble ω-limite.

(c) On suppose que les points d’´ equilibre sont isol´ es. Montrer que si Φ t

(x 0 ) est une suite convergente, alors elle converge vers un point d’´ equilibre.

Indication : raisonner par l’absurde supposant que Φ _t (v) n’est pas stationnaire (o` u v est la limite des Φ t

(x 0 )) et contredire la stricte d´ ecroissance de Ψ.

(d) On suppose toujours que les points d’´ equilibre sont isol´ es. Montrer que toute trajectoire converge vers l’un d’entre eux et qu’ils sont asymptotiquement sta- bles.

Indication : Si a est un point d’´ equilibre, on pourra consid´ erer un voisinage stable par Φ _t autour de a sous la forme B(a, r) ∩ {Ψ < α} o` u α = inf _∂B(a,r) Ψ.

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