Universit´e de Lille L3 Math´ematiques
2018-2019 M-62
Equations diff´erentielles lin´eaires
Exercice 1
a) R´esoudre surRl’´equationt2y00−2ty0+ 2y= 0 en commen¸cant par chercher les solutions de la forme t7→tα.
b) R´esoudre sur ]−1; 1[ l’´equation 4(1−t2)y00−4ty0+y= 0 en commen¸cant par chercher les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere.
Exercice 2
On consid`ere l’´equation diff´erentielle 2ty0+y= 3tcos(t3/2) (t≥0).
a) Trouver une solution d´eveloppable en s´erie enti`ere.
b) D´eterminer toutes les solutions.
c) Montrer qu’il existe une unique solution prolongeable par continuit´e en 0.
Exercice 3
a) Soitnun entier relatif (n6= 0,1), etaetbdes fonctions continues deIdansR. On consid`ere l’´equation de Bernoulli
y0+a(t)y+b(t)yn= 0
A l’aide du changement de fonctionz= 1/yn−1 convenablement justifi´e, ramener l’´equation de Ber- noulli `a une ´equation lin´eaire.
b) R´esoudrety0+y−ty3= 0.
Exercice 4
Soita∈R, on consid`ere l’´equation diff´erentielley(3)−ay00−y0+ay= 0.
a) D´eterminer l’ensembleS des solutions.
b) SoitE l’ensemble des solutions qui tendent vers 0 en +∞: v´erifier queEest un sous-espace vectoriel deS, et discuter sa dimension selon la valeur dea.
Exercice 5
a) R´esoudre sur ]0;π[ l’´equation diff´erentielley00+y= cotant.
b) R´esoudrey00+ 2y0+y= e−t 1 +t2.
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Exercice 6
SoitI un intervalle de R, t0 ∈I etb, c:I→Rdes fonctions de classe C1. On consid`ere le probl`eme de Cauchy
y00+b(t)y0+c(t)y= 0 y(t0) =y0
y0(t0) =y1 On poseu(t) =y(t)e12
Rt t0b(s) ds
.
a) Exprimery, y0, y00 en fonction deuet de ses d´eriv´ees.
b) Montrer qu’il existe une fonction p:I→Rcontinue telle queusoit solution de u00+p(t)u= 0
u(t0) =y0
Exercice 7 rattrapage 2018
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
t2y00−ty0+y= 0 (E1)
a) On se place d’abord sur l’un des deux intervalles ]− ∞; 0[ ou ]0; +∞[, not´eI. Justifier que pour toute condition initiale prise ent0∈I, il existe une unique solution maximale, et pr´eciser sur quel intervalle celle-ci est d´efinie. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions surI?
b) V´erifier que la fonctionψ:t7→test solution de (E1).
c) Soitϕtelle que (ϕ, ψ) constitue un syst`eme fondamental de solutions de (E1) surI.
(a) On note W le wronskien associ´e : rappeler la d´efinition de W(t), et l’´equation diff´erentielle satisfaite parW. D´eterminerW(t).
(b) En d´eduire un choix possible pour ϕde sorte que (ϕ, ψ) soit bien un syst`eme fondamental de solutions de (E1) surI.
d) R´esoudre (E1) surR.
Exercice 8
Soit p: R+ →R une fonction R+-int´egrable (c’est-`a-dire d’int´egrale sur R+ absolument convergente).
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y00+p(t)y= 0
a) Donner l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par le Wronskien d’un syst`eme fondamental de solutions. Que peut-on en d´eduire ?
b) Montrer que si une solution est born´ee sur R+, alors sa d´eriv´ee tend vers 0 en +∞ (on pourra commencer par exprimery0(t1)−y0(t2)sous forme int´egrale).
c) Montrer, en raisonnant par l’absurde et en introduisant le Wronskien, qu’il existe une solution non born´ee surR+.
Exercice 9
Soitp: [a; +∞[→]0; +∞[ une fonction croissante de classeC1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle y00+p(t)y= 0
a) Montrer siy est solution, alorsy0(t)2−y0(a)2=−[p(s)y(s)2]ta+Rt
ap0(s)y(s)2ds.
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b) En d´eduire qu’il existeM ∈Rtelle que∀t, p(t)y(t)2≤M+Rt
ap0(s)y(s)2ds.
c) Montrer que n´ecessairementy est born´ee sur [a; +∞[.
Exercice 10
Trouver toutes les fonctionsf :R→Rcontinues telles que
∀x∈R, f(x)−2 Z x
0
f(t) cos(t) dt= 1
Exercice 11 Pourx∈R, on pose
F(x) = Z +∞
0
cos(tx)e−t2dt
a) Montrer que la fonctionF est bien d´efinie et d´erivable surRet exprimerF0 sous forme int´egrale.
b) Trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee parF et en d´eduire l’expression explicite deF(x).
Exercice 12
On cherche `a d´eterminer les morphismes (de groupes) continus de (R,+) dans (R∗,×), c’est-`a-dire les fonctionsf :R→R∗ continues v´erifiant
∀x, t∈R, f(x+t) =f(x)f(t) a) Montrer que, sif convient, on a
∀x, y∈R, Z x+y
x
f(t) dt=f(x) Z y
0
f(t) dt
b) Montrer quef(0) = 1, puis qu’il existey0 tel queRy0
0 f(t) dt6= 0. En d´eduire quef est de classeC1. c) Montrer quef est solution dey0 =ay, o`ua=f0(0).
d) Conclure.
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