R´esoudre l’´equation diff´erentielle y0 =xy, y(0

Universit´e Pierre et Marie Curie, Licence de Math´ematiques, LM 383, ´Equations diff´erentielles, m´ethodes de r´esolution num´erique,

Examen final, seconde session, mardi 26 juin 2007, 8:30 – 11:30 Aucun document n’est autoris´e

Exercice 1. Dans cet exercice, y d´esigne une fonction r´eelle diff´erentiable de la variable r´eelle x.

1.1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y⁰ =xy, y(0) = 1.

1.2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y⁰ = 1 +y², y(0) = 0. La solution maximale est-elle globale?

1.3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y⁰ = 1−y², y(0) = 0. La solution maximale est-elle globale?

Exercice 2. On pose A=





0 −1 1

1 0 −1

−1 1 0



.

2.1. Calculer le polynˆome caract´eristique deA. En utilisant le th´eor`eme de Cayley-Hamilton, montrer que la matrice A³ s’exprime en fonction de la matrice A.

2.2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

x⁰⁰(t) + 3x(t) = 1, x(0) = 0, x⁰(0) = 0.

2.3. Pour t∈R, on consid`ere la matriceE(t) = Id +x<sup>0</sup>(t)A+x(t)A<sup>2</sup> o`u Id est la matrice de l’identit´e de R³ et x la solution de l’´equation diff´erentielle de 2.2. Calculer E(0) et ^dE_dt −AE.

2.4. Montrer que E(t) =e^tA.

Exercice 3. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

(∗)





˙ x₁

˙ x2

˙ x₃



=





−1 −1 0

−1 −2 −1

0 −1 −1







 x₁ x2

x₃



+G(x),

o`u G est d´efinie surR³, lipschitzienne de rapport L et telle que sup_x∈R3kG(x)k ≤1.

3.1. Soient A la matrice 3×3 ci-dessus et u∈R³. Montrer que hAu, ui ≤0.

3.2. Soitv ∈R³. Calculer d dt

he^tAv, e^tAvi

. En d´eduire que pour tout t≥0, ke^tAk ≤1.

3.3. Montrer que pour t ∈R, e^tA−Id =tR1

0 Ae^θtAdθ.

3.4. On consid`ere le sch´ema num´erique

yn+1 =e^hA yn+hG(yn) ,

o`u y_n ∈ R³, h > 0. Ecrire ce sch´ema sous la forme y_n+1 = y_n +hF(t_n, y_n, h) et montrer qu’il est consistant (ici T >0 est donn´e ettn =nh, n∈N,0≤n≤N, N h=T).

3.5. Montrer que le sch´ema est stable et donner une estimation de la constante de stabilit´e en fonction de la norme deA et deL.

Un corrig´e sera disponible sur la page http://www.institut.math.jussieu.fr/˜lerner/index.383