R´esoudre (par le calcul) l’´equation diff´erentielle r´eelle y0+y+t y2= 0

Universit´e de Paris Dauphine

Examen Syst`emes Diff´erentiels - MD3 Jeudi 2 Septembre 2003 de 14h `a 16h

Exercice I. R´esoudre (par le calcul) l’´equation diff´erentielle r´eelle y⁰+y+t y²= 0.

Exercice II. Soit l’´equation diff´erentielle d’ordre 3:

y⁰⁰⁰+y⁰⁰+y⁰+y= 0.

a) - ´Ecrire l’´equation sous la forme d’un syst`eme diff´erentiel lin´eaire Y⁰=A Y.

Que peut-on dire sur les solutions de cette ´equation: existence, intervalle maxi- mal d’existence des solutions, structure alg´ebrique de l’ensemble des solutions?

b) - Discuter de la stabilit´e du syst`eme sans le r´esoudre explicitement.

Probl`eme III. On consid`ere le syst`eme suivant (S)

x˙ = y²−x

˙

y = x−y²

1. Enoncer un th´eor`eme d’existence et unicit´e concernant le probl`eme de Cauchy associ´e `a (S).

2. Montrer que si x(0) > 0 et (x, y) est solution de (S) sur l’intervalle de temps [0, T] alors x(t)> 0 pour tout t ∈ [0, T]. Montrer que si de plus y(0)>0 alors y(t)>0 pour tout t∈[0, T]. Que peut-on en d´eduire sur le quart de planQ= IR^∗₊×IR^∗₊.

3. Ecrire l’´equation diff´erentielle satisfaite parw:=x+y.

a) En d´eduire une quantit´e conserv´ee par le syst`eme (S).

b) En deduire que la solution du probl`eme de Cauchy associ´ee `a (S) est globale pour toute donn´ee initiale dansQ.

4. D´emontrer qu’il existe un unique point d’equilibre (x_∞, y_∞)∈Qpour le syst`eme (S) tel quew_∞=w(0).

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5. On fixe dans cette questionw_∞= 1.

a) Expliciter (x∞, y∞).

b) D´eterminer l’´equation lin´earis´ee associ´ee.

c) Discuter de la nature et de la stabilit´e du syst`eme lin´earis´e obtenu.

d) En d´eduire, si cela est possible, des informations sur la stabilit´e de l’´equilibre consid´er´e, pour le syst`eme non lin´eaire (S).

6. ´Ecrire l’´equation diff´erentielle satisfaite parz=x−x_∞. a) En d´eduire queZ =z² satisfait ˙Z+ 2Z≤0.

b) En d´eduire, quex(t)→x_∞lorsquet→ ∞avec un taux exponentiel.

c) En d´eduire enfin, quey(t)→y_∞ lorsquet→ ∞avec un taux expo- nentiel.

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