R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle ty0+y=et

Universit´e de Lille L3 Math´ematiques

2019-2020 M-62

Session 2

CONSIGNES :

— votre nom et votre carte d’´etudiantdoivent figurer sur la premi`ere page de la copie ;

— copie `a d´eposer sur Moodleavant 11h; penser au temps n´ecessaire pour scanner/photographier puis traiter num´eriquement le fichier ;

— la copie doit correspondre `aun unique fichier .pdf, dontles pages seront num´erot´ees (et plac´ees dans l’ordre et dans le bon sens) nomm´e de la fa¸con suivante :

rattrapageM62 NOM prenom

Bar`eme : 2,5 points par question Les questions sont ind´ependantes.

1. Enoncer le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz (version la plus g´en´erale) pour y⁰ = f(t, y).

Justifier que les hypoth`eses du th´eor`eme sont n´ecessaires.

2. D´eterminer une ´equation diff´erentielle du typey⁰⁰+by⁰+cy= 0 (o`u b, c∈R) telle que les fonctions t7→e^−4t ett7→te^−4t soient solutions.

3. R´esoudre sur Rl’´equation diff´erentielle ty⁰+y=e^t.

4. On consid`ere un syst`eme diff´erentiel de la forme X⁰ = F(t, X) dans R². Les trajectoires des solutions dans le plan de phase peuvent-elles se couper ? (donner une justification ou un contre-exemple)

5. Soitf :I →Rune fonction de classeC¹ sur l’intervalleI. Montrer que toute solution non constante de l’´equation diff´erentielle y⁰ =f(y) est strictement monotone.

6. Soitaune fonction continue et born´ee surR, etk >0. Montrer que l’´equationy⁰−ky=a admet une unique solution born´ee sur R.

7. Soit ϕ une solution sur R⁺ de l’´equation diff´erentielle y⁰⁰ = −t|y|, v´erifiant ϕ(0) = 1 et ϕ⁰(0) = 0. Montrer queϕ(t)−−−−→

t→+∞ −∞.

8. Soitf :R→Rune fonction de classeC¹. On suppose quef⁰(t) +f(t)−−−−→

t→+∞ 0 : comment se comportef(t) en +∞?

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