1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle suivante

Mat307 Feuille d’exercices 2 : ´ equations diff´ erentielles UGA Exercice 1.

1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle suivante

x ⁰ = x + cos(t) ; x(0) = 1.

2. Tracer la solution et ´ etudier son comportement en −∞ et en +∞.

Exercice 2. R´ esoudre sur ]0, +∞[ l’´ equation diff´ erentielle (E) x − tx ⁰ = 2t

t + 2 .

Exercice 3. R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles suivantes et discuter le comportement asymto- tique des solutions pour t → +∞ (λ ∈ R , n ∈ N , a ∈ R )

a) x ⁰ = λx, b) x ⁰ = λx + cos(t), c) x ⁰ = at ⁿ x,

Exercice 4. Soit n ∈ N . On consid` ere l’espace vectoriel des polynˆ omes V = R n [t] de degr´ e ≤ n.

1. Montrer que l’application L : V → V , P 7→ P ⁰ − P d´ efinit une bijection de V dans V . D´ eterminer l’application r´ eciproque L ⁻¹ .

2. Soit P un polynˆ ome. D´ eterminer une primitive de f (t) = P(t)e ^−t . Exercice 5. R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles ` a variables s´ epar´ ees :

(2t + 3)x ⁰ + tx = 0, x(0) = 1 (e ^t + 1)x ⁰ + e ^t x ² = 0, x(0) = 2 y ⁰ (tan(y) ² + 1) = tan(y), y(0) = 5π/4 Exercice 6.

1. La d´ esint´ egration de 50 % de mati` ere radioactive s’est produite dans 30 jours. Dans combien de temps restera-t-il 1 % de toute la quantit´ e initiale ?

2. Selon les exp´ eriences, la d´ esint´ egration annuelle du radium est de l’ordre de 0.44 mg par gramme. En combien d’ann´ ees la moiti´ e de toute la r´ eserve de radium se d´ esint` egrera-t-elle ? Exercice 7.

1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle x ⁰ = (x − a)(x − b) sur R o` u a > b sont des constantes.

Discuter le comportement des solutions lorsque t → +∞.

2. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle x ⁰ = x ² + a ² sur R .

3. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle x ⁰ = x ² − 10x + 9 sur R avec la condition initiale x(0) = 3.

Discuter le comportement des solutions lorsque t → +∞.

Exercice 8. On consid` ere les deux ´ equations diff´ erentielles d´ ependant de deux param` etres r´ eels a et b

(E ₁ ) x ⁰ = ax + b (E ₂ ) x ⁰ = ax + bx ² . Pour chacune d’elles

1. D´ eterminer les solutions stationnaires.

2. R´ esoudre l’´ equation analytiquement et donner l’allure des solutions.

3. Discuter le comportement des solutions lorsque t → +∞.

Exercice 9. R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles

a) x ⁰⁰ + 3x ⁰ + 2x = 0 b) x ⁰⁰ + 2x ⁰ + 2x = 0 c) x ⁰⁰ + 2x ⁰ + x = 0

Discuter le comportement des solutions lorsque t → +∞. Mˆ emes questions en ajoutant au second

membre cos(t).

Exercice 10 *(janvier 2015).

1. Donner la solution g´ en´ erale de l’´ equation diff´ erentielle x ⁰⁰ + 4x = cos(2t) Les solutions sont-elles born´ ees lorsque t → +∞ ?

2. Soit a ∈]0, 4[. Donner la solution g´ en´ erale de l’´ equation diff´ erentielle x ⁰⁰ + ax ⁰ + 4x = cos(2t) (E)

3. D´ eterminer la solution de (E) pour les conditions initiales x(0) = 0, x ⁰ (0) = 1/a.

4. D´ eterminer le maximum M a de cette solution pour t ≥ 0 en fonction de a.

5. Quelle est la limite de M _a lorsque a tend vers 0 ?

Ce r´ esultat est-il encore valide lorsqu’on fixe des conditions initiales ind´ ependantes de a (on pourra discuter le comportement des solutions de x ⁰⁰ + ax ⁰ + 4x = 0 lorsque t → +∞) ? Exercice 11 (juin 2016, circuit RLC). On s’int´ eresse ` a l’´ equation diff´ erentielle

q

C + Rq ⁰ + Lq ⁰⁰ = U cos(ωt) (1)

o` u R ≥ 0, L > 0, C > 0, U ≥ 0, ω > 0 sont des constantes, t le temps, q(t) la fonction inconnue (la charge du condensateur du circuit RLC), q ⁰ = ^dq _dt , q ⁰⁰ = ^d _dt

^q

1. Quel est l’ordre de cette ´ equation ? Est-elle lin´ eaire ? ` A variables s´ eparables ? 2. On suppose dans cette question que R = 0 et U = 0, on pose ω ₀ = 1/ √

LC. Donner la solution g´ en´ erale de l’´ equation (1). La solution est-elle born´ ee lorsque t → +∞ ?

3. On suppose dans cette question que R = 0 et U = 1. Donner la solution g´ en´ erale de l’´ equation (1) et indiquer si la solution est born´ ee lorsque t → +∞. On distinguera les cas ω 0 6= ω et ω 0 = ω.

4. On suppose dans la suite que R > 0. Montrer que les racines de l’´ equation _C ¹ +Rx + Lx ² = 0 d’inconnue x sont deux r´ eels strictement n´ egatifs ou deux complexes conjugu´ es de partie r´ eelle strictement n´ egative. En d´ eduire la solution g´ en´ erale de l’´ equation (1) lorsque U = 0 et d´ eterminer sa limite lorsque t → +∞.

5. On suppose toujours que R > 0 mais maintenant U 6= 0. D´ eterminer une solution particuli` ere de la forme q(t) = Qe ^iωt , (Q ∈ C , i ² = −1) pour l’´ equation

q

C + Rq ⁰ + Lq ⁰⁰ = U e ^iωt (∗)

Calculer q ⁰ = Ie ^iωt , I ∈ C et en d´ eduire une relation entre I et U (loi d’Ohm complexe).

6. En d´ eduire une solution particuli` ere de (1) en prenant la partie r´ eelle de la solution trouv´ ee pour (*). Comparer les solutions de (1) avec cette solution particuli` ere lorsque t → +∞.

Peut-on n´ egliger la condition initiale q(t ₀ ), q ⁰ (t ₀ ) lorsque t → +∞ ?

7. Quel serait le comportement asymptotique des solutions si R ´ etait strictement n´ egatif ? Exercice 12.

1. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de A =

−2 −1

−1 −2

.

2. R´ esoudre le probl` eme de Cauchy

( x ⁰ = −2x − y

y ⁰ = −x − 2y ; x(0) = a, y(0) = b.

3. Tracer la courbe param´ etr´ ee t → (x(t), y(t)) pour a = 1 et b = 0.

4. Discuter le comportement des solutions du 2. lorsque t → +∞

5. Trouver une solution particuli` ere de

( x ⁰ = −2x − y + cos(t) y ⁰ = −x − 2y + sin(t) ; 6. Discuter le comportement des solutions du 5. lorsque t → +∞

Exercice 13.

1. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de A =

1 3 4 −3

.

2. R´ esoudre le probl` eme de Cauchy

( x ⁰ = x + 3y

y ⁰ = 4x − 3y ; x(0) = a, y(0) = b.

3. Tracer la courbe param´ etr´ ee t → (x(t), y(t)) pour a = 4 et b = 0.

Exercice 14.

1. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de A =

1 −1 2 −1

.

2. R´ esoudre le probl` eme de Cauchy

( x ⁰ = x − y

y ⁰ = 2x − y ; x(0) = a, y(0) = b.

3. Tracer la courbe param´ etr´ ee t → (x(t), y(t)) pour a = 1 et b = 1.

Exercice 15 (juin 2015).

1. On cherche ` a d´ eterminer la solution g´ en´ erale du syst` eme diff´ erentiel Y ⁰ =

0 1

−4 0

Y, Y (t) = (x(t), y(t))

D´ eterminer une ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 dont la premi` ere composante x(t) de Y (t) est solution

En d´ eduire la solution g´ en´ erale du syst` eme. Tracer le graphe de la courbe param´ etrique (x(t), y(t)) = Y (t) de la solution telle que Y (0) =

1 0

. Les solutions sont-elles born´ ees lorsque t → +∞ ?

2. V´ erifier que Y (t) = e ^2it ( ^−it ₄ + ¹ ₈ , ₂ ^t ) est solution particuli` ere du syst` eme : Y ⁰ =

0 1

−4 0

Y + 0

e ^2it

D´ eterminer la solution g´ en´ erale du syst` eme diff´ erentiel Y ⁰ =

0 1

−4 0

Y +

0 cos(2t)

Les solutions sont-elles born´ ees lorsque t → +∞ ? 3. Soit a ∈]0, 4[. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel

Y ⁰ =

0 1

−4 −a

Y

D´ eterminer le signe de la partie r´ eelle des valeurs propres de la matrice du syst` eme et en d´ eduire la limite des solutions lorsque t → +∞

4. Pour a ∈]0, 4[, on consid` ere le syst` eme diff´ erentiel Y ⁰ =

0 1

−4 −a

Y +

0 cos(2t)

Les solutions sont-elles born´ ees lorsque t → +∞ ? (on ne demande pas de calculer explicite-

ment les solutions).

Exercice 16. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle suivante sur l’intervalle I =]0, π 2 [ : (E) x ⁰⁰ (t) + 3 tan(t)x ⁰ (t) − 2x(t) = 0.

1. Quelle est la nature de l’espace des solutions ?

2. V´ erifier que la fonction x ₀ (t) = sin(t) est solution de (E).

3. Soit x une solution, on pose x = x ₀ y pour sin(t) 6= 0. D´ eterminer une ´ equation d’ordre 1 v´ erifi´ ee par y.

4. R´ esoudre (E).

Exercice 17*. (Int´ egrales premi` eres.) On consid` ere un syst` eme diff´ erentiel du type

(S)







x ⁰ ₁ = f 1 (x 1 , . . . , x n ) . . .

x ⁰ _n = f _n (x ₁ , . . . , x _n ).

Ici chaque fonction f _i est d´ efinie sur R ⁿ ` a valeurs dans R . On appelle int´ egrale premi` ere du systeme une fonction F : R ⁿ → R de classe C ¹ , constante sur chaque solution.

1. En d´ erivant F (x ₁ , ..., x _n ) le long d’une courbe int´ egrale, montrer que :

n

X

i=1

f _i ∂F

∂x _i = 0

2. Soit A est une matrice antisym´ etrique fix´ ee de taille n, que vaut Ax.x ? En d´ eduire une int´ egrale premi` ere du syst` eme x ⁰ = Ax. Interpr´ etation ?

3. Soit λ ∈ Z . Montrer que le syst` eme

x ⁰ ₁ = x 1

x ⁰ ₂ = λx 2

admet une int´ egrale premi` ere non constante si et seulement si λ ≤ 0. Indication : r´ esoudre le syst` eme.

4. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle x <sup>00</sup> = g(x). En posant x 1 = x et x 2 = x <sup>0</sup> , ` a quel syst` eme diff´ erentiel est-on ramen´ e ?

Soit P telle que P ⁰ = −g. On pose E _P (x ₁ , x ₂ ) = P (x ₁ ) (´ energie potentielle) et E _C (x ₁ , x ₂ ) =

1

2 x ² ₂ (´ energie cin´ etique). Montrer que l’´ energie totale E = E P +E C est une int´ egrale premi` ere du syst` eme.

Exprimer E dans le cas o` u g(x) = sin(2x).

Exercice 18. R´ esoudre les syst` emes et donner l’allure des solutions t → (x(t), y(t)) (en particulier le comportement pour t → +∞) :

(a)



 

 

x ⁰ (t) = −2x(t) + e ^t y ⁰ (t) = −y(t) + cos(3t) x(1) = 1, y(1) = 2

(b)



 

 

x ⁰ (t) = −y(t) y ⁰ (t) = x(t) x(1) = 1, y(1) = 2

(pour (b), on pourra aussi utiliser la fonction complexe z(t) = x(t) + iy(t)) (c)

( x ⁰ (t) = −y(t) + cos(t)

y ⁰ (t) = x(t) + t, x(1) = 1, y(1) = 2 (d)

( x ⁰ (t) = −5x(t) + 2y(t) y ⁰ (t) = 2x(t) − 2y(t)

(e)



 

 

x ⁰ (t) = −5x(t) + 2y(t) + cos(t) y ⁰ (t) = 2x(t) − 2y(t) + sin(t) x(1) = 1, y(1) = 2

(f)



 

 

x ⁰ (t) = −2x(t)

y ⁰ (t) = y(t)

x(1) = 1, y(1) = 2

Exercice 19. R´ esoudre x ⁰⁰⁰ + x = 0.

Exercice 20*. En effectuant un changement de variable s = g(t) conduisant ` a une ´ equation diff´ erentielle ` a coefficients constants, r´ esoudre

(1 + t ² )x ⁰⁰ + tx ⁰ + k ² x = 0.

Ici k est un param` etre.

Exercice 21. On consid` ere l’´ equation x ⁰ = sin(x). Trouver les solutions constantes. Montrer que toutes les solutions sont born´ ees.

Exercice 22. On consid` ere dans R ² la forme diff´ erentielle ω = (1 − x ² y ² )dx − 2x ³ ydy . (a) La forme ω est-elle ferm´ ee ? exacte ?

(b) Pour tout a ∈ R , calculer l’int´ egrale de la forme ω du point P 0 = (0, 0) au point P 1 = (1, 1) le long de la courbe y = ax + (1 − a)x ² . Le r´ esultat d´ epend-il du param` etre a ?

(c) Soit µ : R ² → R + la fonction d´ efinie par µ(x, y) = 1

(1 + x ² y ² ) ² , (x, y) ∈ R ² .

V´ erifier que µ est un facteur int´ egrant pour la forme ω, c’est-` a-dire que la nouvelle forme Ω = µω est exacte. Trouver une fonction V : R ² → R telle que Ω = dV .

(d) Dessiner dans le plan R ² les lignes de niveau de la fonction V . (e) Trouver la solution de l’´ equation diff´ erentielle

y ⁰ (x) = 1 − x ² y(x) ² 2x ³ y(x) v´ erifiant la condition initiale y(2) = 1/2.

Exercice 23. Soit le syst` eme (S)

( x ⁰ (t) = y ² (t) − 1 y ⁰ (t) = x ² (t) − 1 a) D´ eterminer les solutions stationnaires du syst` eme.

b) Montrer que f (x, y) = (x ³ − y ³ ) − 3(x − y) est une int´ egrale premi` ere du mouvement.

c) Tracer les courbes solutions de condition initiale x(0) = y(0) = 0 et x(0) = √

3, y(0) = 0.

Exercice 24 Donner le lagrangien pour un pendule et les ´ equations d’Euler-Lagrange.

Exercice 25 On consid` ere dans R ² un potentiel V (r) ne d´ ependant que de r la distance au centre.

Ecrire les ´ ´ equations d’Euler-Lagrange pour le lagrangien de la m´ ecanique classique L(r, θ, r, ˙ θ), ˙ appliquer au cas d’un potentiel V (r) = µ/r. Mˆ eme question dans R ³ en coordonn´ ees sph´ eriques.

Exercice 26 Calculer le hamiltonien H de la m´ ecanique classique et de la relativit´ e en coordonn´ ees cart´ esienne. Mˆ eme question en coordonn´ ees polaires.

Exercice 26. Soit une courbe γ(x) = (x, y(x)) d´ efinie sur [a, b] et v´ erifiant y(x) > 0. On note L h (γ ) =

Z b a

p 1 + y ⁰²

y dx

la longueur hyperbolique de γ. Soit les points A = (a, 1) et B = (b, 1). On cherche parmi les courbes γ allant de A ` a B (γ(a) = A et γ (b) = B) celle de longueur hyperbolique minimum.

1. En appliquant l’´ equation d’Euler-Lagrange, montrer qu’une telle courbe satisfait l’´ equation diff´ erentielle

(E c ) y ² (1 + y ⁰² ) = c ² o` u c est une constante non nulle.

2. R´ esoudre (E _c ). Quelle est la nature g´ eom´ etrique de la courbe minimisante ?

Pendule sur une cyclo¨ıde

(Extrait de l’examen de janvier 2015).

On s’int´ eresse ` a la cyclo¨ıde C d’´ equations param´ etriques

x(τ ) = R(τ + sin(τ )), y(τ ) = R(1 − cos(τ ))

On utilise τ comme param` etre pour ne pas confondre avec le temps t qui servira dans la partie 2.

La partie 1 porte sur l’´ etude de la courbe param´ etrique, la partie 2 porte sur l’´ etude du mouvement d’une masse sur cette courbe,

Partie 1 : Courbe param´ etrique

1. Pr´ eciser les sym´ etries de la courbe, montrer qu’on peut se ramener ` a une ´ etude sur [0, π].

2. Repr´ esenter l’arche de la cyclo¨ıde C pour τ ∈ [−π, π] lorsque R = 1, en indiquant sur la figure les points de param` etre τ = −π, 0, π et les directions des tangentes en ces points (on justifiera).

3. Calculer l’´ el´ ement de longueur ds en fonction de τ ∈ [−π, π] (R > 0 quelconque) et le rep` ere de Fr´ enet.

4. On fixe l’origine de l’abscisse curviligne au point (0,0). Montrer que s ² (τ ) = ky(τ ) sur l’arche de cyclo¨ıde τ ∈] − π, π[, k ´ etant une constante ` a d´ eterminer en fonction de R.

Partie 2 : Equations diff´ erentielles

On lache ` a l’instant t = 0 une masse m en un point de l’arche de cyclo¨ıde sans vitesse initiale, on n´ eglige les frottements. On rep` ere la masse par son abscisse curviligne s, sa vitesse est v = ds/dt (t est le temps, diff´ erent de τ ). Les questions 1 ` a 5 proposent trois m´ ethodes diff´ erentes pour r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle correspondante, une des m´ ethodes suffit pour aborder les questions 6 et 7.

1. En utilisant que l’´ energie totale E = ¹ ₂ mv ² + mgy est une int´ egrale premi` ere du mouvement, montrer que l’abscisse curviligne s v´ erifie :

(∗) ds

dt 2

+ g

4R s ² = C

2. D´ eriver (*). En admettant que s n’est pas constant sauf si y est identiquement nul, en d´ eduire une ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 v´ erifi´ ee par s et r´ esoudre cette ´ equation.

3. Bonus : montrer que s n’est pas constant sauf si y est identiquement nul en appliquant le principe fondamental de la dynamique (somme des forces=masse × acc´ el´ eration) et en observant que la force de r´ eaction de la courbe est port´ ee par la normale ` a la courbe.

4. Quel est le signe de C ? R´ esoudre directement (*) comme une ´ equation diff´ erentielle ` a va- riables s´ eparables (on pourra utiliser R _dx

√ 1−x

= arcsin(x)) et retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent.

5. ´ Etablir que le lagrangien du syst` eme vaut L(s, s, t) = ˙ 1

2 m s ˙ ² − mg s ² 8R

Donner l’´ equation d’Euler-Lagrange correspondante et retrouver le r´ esultat pr´ ec´ edent.

6. Montrer que le mouvement est p´ eriodique, calculer la p´ eriode du mouvement.

7. Si on lache simultan´ ement deux masses en deux points de l’arche d’ordonn´ ees y ₁ et y ₂ telles

que 0 < y 1 < y 2 < 2R, laquelle des deux masses arrivera au point (0, 0) en premier ? (N.B. :

on pourra supposer que les abscisses initiales v´ erifient x 1 < 0 < x 2 pour ´ eviter une ´ eventuelle

collision !)