R´esoudre l’´equation diff´erentielle y0 =−2xy2, y(0

Universit´e Pierre et Marie Curie, Licence de Math´ematiques, LM 383, ´Equations diff´erentielles, m´ethodes de r´esolution num´erique,

Examen final, mardi 5 juin 2007, 8:30 – 11:30 Aucun document n’est autoris´e

Exercice 1.

1.1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y⁰ =−xy+x, y(0) = 0.

1.2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y⁰ =−2xy², y(0) = 1. La solution maximale est-elle globale?

1.3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle y⁰ = 2xy², y(0) = 1. La solution maximale est-elle globale?

1.4. R´esoudre l’´equation diff´erentielle ¨x+ 4 ˙x+ 4x=e^at o`u a est un param`etre r´eel.

Exercice 2.

2.1. On pose A=

1 1

−1 1

. Calculer exptA.

2.2. On pose B=





1 1 1

0 1 2

4 0 −2



. Calculer det(expB).

Exercice 3. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

(∗)





˙ x1

˙ x₂

˙ x3



=α





0 −1 1

1 0 1

−1 −1 0







 x1

x₂ x3



+g(x), g(x) =





g1(x1, x2, x3) g₂(x₁, x₂, x₃) g3(x1, x2, x3)



,

o`u α∈R et g est lipschitzienne de rapport L et telle que sup_x∈R3kg(x)k ≤1.

3.1. En d´esignant par A la matrice 3×3 ci-dessus, montrer que pour tout t∈R, ke^tAk ≤1.

3.2. On consid`ere le sch´ema num´erique

yn+1 =e^hαA yn+hg(yn) ,

o`u yn ∈ R³, h > 0. Ecrire ce sch´ema sous la forme yn+1 = yn +hF(tn, yn, h) et montrer qu’il est consistant (ici T >0 est donn´e ett_n =nh, n∈N,0≤n≤N, N h=T).

3.3. Montrer que le sch´ema est stable et donner une estimation de la constante de stabilit´e en fonction de la norme deA, de α et de L.

3.4. Montrer qu’il existe M ≥ 0 tel que kynk ≤ ky0k+tnM et, si x(t) d´esigne une solution de (∗),

∀t∈R, kx(t)k ≤ kx(0)k+|t|M.

Un corrig´e sera disponible sur la page http://www.institut.math.jussieu.fr/˜lerner/index.383