Examen d’analyse num´erique avril 2012

Examen d’analyse num´erique avril 2012

Exercice 1:

Soitf une fonction de classeC¹ sur [−1,2].

1. Montrer qu’il existe un et un seul polynomeP_f de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 ou nul, tel que f(0) =P_f(0),f(1) =P_f(1),f⁰(0) =P_f⁰(0).

2. Calculer les polynomesPo,Qoet P1 tels que Po(0) = 1,P_o⁰(0) =Po(1) = 0.

Qo(0) =Qo(1) = 0,Q⁰_o(0) = 1.

P1(1) = 1, P1(0) =P₁⁰(0) = 0.

3. Montrer les relations







1 =Po+P1

0 =−xPo(x) + (1−x)P1(x) +Qo(x) 0 =x²Po(x) + (1−x)²P1(x)−2xQo(x) 4. On suppose de plusf de classeC³sur [−1,2]. Montrer la formule d’erreur

P_f(x) =f(x) +P_o(x) Z 0

x

f⁽³⁾(t)(0−t)²

2! dt+P₁(x) Z 1

x

f⁽³⁾(t)(1−t)²

2! dt+Q_o(x) Z 0

x

(−t)f⁽³⁾(t)dt.

Exercice 2:

1. Montrer que∀x∈[−1,1], sin(arccosx) =√ 1−x².

2. Trouver la meilleure approximation uniforme d’ordre 1 sur l’intervalle [0,^π₂] de la fonction x7→sinx.

Exercice 3:

1. Rappeler la d´eriv´ee de arctanx.

2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y⁰ = arctan(xy+y²) y(0) = 1

Montrer que la fonctionf :

IR² → IR

(x, y) 7→ arctan(xy+y²) est de classeC¹ sur IR². 3. Calculer la d´eriv´ee partielle de f par rapport `ay.

4. Soitaun r´eel strictement positif. Pour|x| ≤aet |y| ≥a+ 1, montrer que |xy+y²| ≥a+ 1.

5. En distinguant les cas|y|< a+ 1 et|y| ≥a+ 1, montrer que|^∂f_∂y(x, y)| ≤2 + 3apour touty∈IR etx∈[−a;a].

6. En d´eduire quef(x, y) est Lipschitzienne par rapport `ay, uniform´ement en x∈[−a, a], on d´eterminera une constante de Lipschitz. Que peut-on en d´eduire pour l’´equation diff´erentielle?

7. On consid`ere le sch´ema , sur [0, a],h=_N^a,n= 0,1,2, ..., N−1 ( y_n+1^h −y^h_n

h =f(nh+^h₂, y_n^h+^h₂f(nh, y^h_n) +h²) y^h_o = 1 +h²

Donner une fonctionφ(x, y, h) d´efinie sur [0, a]×IR×[0, h_o] telle que le sch´ema s’´ecrive

y^h_n+1−y_n^h

h =φ(nh, y^h_n, h), y^h_o = 1 +h².

8. Montrer que ce sch´ema est stable et consistant avec l’´equation diff´erentielle 9. Le sch´ema est-il d’ordre 2 ?

10. En d´eduire un ordre de l’erreuren en fonction deh.

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