Examen d’analyse num´erique
Exercice 1 : Soit f une fonction de classe C3 sur [−1,1]. Montrer qu’il existe un et un seul polynome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 ou nul tel que
f(i)(0) =P(i)(0) pouri= 0,1,2,3.
On note Pf ce polynome.
Calculer les polynomes P0, P1,P2 etP3 de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 tels que P0(0) = 1, P00(0) =P000(0) =P0(3)(0) = 0
P10(0) = 1, P1(0) =P100(0) =P1(3)(0) = 0 P200(0) = 1, P2(0) =P20(0) =P2(3)(0) = 0 P3(3)(0) = 1, P3(0) =P300(0) =P300(0) = 0
Calculer Pf en fonction de f(0), f0(0) f”(0), f(3)(0), P0, P1, P2 et P3.
On suppose que f(4) existe et est int´egrable sur [0,1]. Exprimer f(x)−Pf(x) `a l’aide d’une int´egrale. Quelle est la formule utilis´ee?
Exercice 2 :
Donner la meilleure approximation uniforme d’ordre 1 de la fonction f d´efinie sur [0,1] par
f(x) = ln(x+√
x2+ 1)
Exercice 3 :
On rappelle que chx= ex+e2−x et shx= ex−e2−x Calculer R01shx dx, R01xshx dxet R01x2shx dx
D´eterminer la meilleure approximation d’ordre 2 de la fonction shx sur [0,1] pour la
norme L2. On pourra utiliser le fait que
1 12 13
1 2 1
3 1
4 1 3 1
4 1
5
−1
=
9 −36 30
−36 192 −180 30 −180 180
1
Exercice 4 :
Soit f(x, y) = 1+sin21(x2+y). Montrer quef est Lipshitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable. Donner un coefficient de Lipshitz sur [−1,1]×IR.
En d´eduire l’existence et l’unicit´e d’une solution locale `a l’´equation. On admettra que la solution est d´efinie sur [0,1].
( y0(x) = 1+sin21(x2+y)
y(0) = 0
Soit h = N1, n= 0,1, . . . , N
On consid`ere l’approximation par diff´erences finies pour approcher la solution sur
[0,1].
yhn+1−ynh
h = 1+sin2((n1+h2h2)+yhn+h) , n ∈[1, N] yh0 =h2
Donner la fonction φ(x, y, h) pour ´ecrire le sch´ema sous la forme:
( yn+1h = ynh+hφ(xhn, ynh, h) y0h =h2
Montrer que cette approximation est consistante avec l’´equation diff´erentielle.
Montrer qu’elle est stable. On calculera une constante de Lipschitz de φ par rapport
`a la variable y. (On pourra ´etudier ∂φ∂y(x, y, h)).
En d´eduire que l’erreur est en O(h). Le sch´ema est il d’ordre 2?
2
