Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique

L3 Math´ematiques 2 Mai 2017

Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique

Dur´ee: 4h. Documents, calculatrices, t´el´ephones portables interdits.

Total des points sur 30 (le barˆeme de chaque exercice est donn´e `a titre indicatif).

Note finale: les 10 premiers points comptent en totalit´e, les suivants pour moiti´e.

Par exemple, pour un total de 16 sur 30, la note sera10 + 6/2 = 13sur 20.

Exercice 1. [5pts]On consid`ere l’´equation diff´erentielle y⁰(t) = cos(e^t+y(t)),

y(0) = 1.

a)Montrer qu’il existe une unique solution maximale `a l’´equation diff´erentielle ci-dessus. Sur quel intervalle cette solution est-elle d´efinie? Justifier votre r´eponse.

Etant donn´eT >0, on consid`ere sur[0, T]le sch´ema num´erique

y_n+1 = y_n+^h₂cos (e^tn+y_n) + ^h₂cos (e^tn+h+y_n+hcos(e^tn+y_n)

, n= 0, . . . , N −1, y₀ = 1,

o`uh = _N^T ett_n =nh,n= 0, . . . , N −1.

b)Donner la fonctionφ(t, y, h)d´efinissant le sch´ema sous la formey_n+1 =y_n+hφ(t_n, y_n, h).

c) Montrer que ce sch´ema est consistant et stable. On pr´ecisera une valeur de la constante de stabilit´eS (on pourra noter qu’on a toujours0≤h≤T).

d)Montrer que ce sch´ema est d’ordre au moins2.

Exercice 2. [7pts]Soitf : [0,1]→Rde classeC⁴.

a)Montrer qu’il existe un unique polynˆomeP_f de degr´e inf´erieur ou ´egal `a3tel que P_f(0) =f(0), P_f⁰(0) =f⁰(0), P_f(1) =f(1) et P_f⁰(1) =f⁰(1).

b)Soitx∈]0,1[fix´e. On d´efinit les fonctionsR,ΠetF sur[0,1]par

R(t) =f(t)−P_f(t), Π(t) = t²(t−1)² et F(t) = R(t)Π(x)−R(x)Π(t).

i)Que valentF⁰(0)etF⁰(1)?

ii)Montrer queF s’annule en3points distincts que l’on pr´ecisera.

iii)En d´eduire queF⁰s’annule en4points distincts puis qu’il existeξ ∈]0,1[tel queF⁽⁴⁾(ξ) = 0.

iv)Montrer queR(x) = _4!¹f⁽⁴⁾(ξ)Π(x).

c)Calculer Z 1

0

|Π(t)|dt. En d´eduire la majorationkf−P_fk₁ ≤ M₄

720 o`uM₄ = max

t∈[0,1]|f⁽⁴⁾(t)|. On rappelle quekgk₁ =

Z 1

0

|g(t)|dt.

d)On prend la fonctionf(x) = x⁵. i)Calculer le polynˆomeP_f.

ii)Calculerkf−P_fk₁. Que peut-on en conclure sur la majoration obtenue au c).

Exercice 3. [8pts] Soit `^∞ l’espace des suites r´eelles born´ees, muni de la norme k(un)n∈Nk = sup

n≥0

|un|. On consid`ere la fonctionf :`^∞→`<sup>∞</sup>d´efinie par : siU = (un)n∈N ∈`^∞alorsf(U)est la suite de terme g´en´eralunun+1, i.e.f U

= (unun+1)n∈N.

a)SoitV ∈`^∞d´efinie parV = (−2,3,−2,3,−2,3, . . .). Calculerf(V),kVketkf(V)k.

b)Justifier que siU ∈`<sup>∞</sup>on a bienf(U)∈`^∞. c)SoitW ∈`<sup>∞</sup>la suite constante ´egale `a1

i)SiH = (hn)n∈Nquel est le terme g´en´eral de la suitef(W +H)?

ii)Montrer quef est diff´erentiable enW de diff´erentielle l’application L:H = (h_n)n∈N7→L(H) = (h_n+1+h_n)n∈N. On pr´ecisera bien les espaces de d´epart et d’arriv´ee de l’applicationL.

d)SoitU ∈`^∞. Montrer quef est diff´erentiable enU de diff´erentielle l’application L_U :H = (h_n)n∈N7→L_U(H) = (u_nh_n+1+u_n+1h_n)n∈N. e)Montrer quef est de classeC¹.

f) i)Montrer que pour tout U ∈ `^∞ on akDf(U)k ≤ sup

n

(|u_n|+|u_n+1|). (On pr´ecisera bien de quelle norme il s’agit.)

ii)SoitV = (v_n)_nla suite d´efinie aua). Montrer quekDf(V)k= 5.

iii)Montrer que pour toutU ∈`^∞on akDf(U)k= sup

n

(|u_n|+|u_n+1|).

Exercice 4. [6pts]Soient(E,k k_E)et(F,k k_F)deux evn etL(E, F)l’espace vectoriel des appli- cations lin´eaires continues deE dansF.

a)Rappeler la d´efinition d’un espace de Banach.

b)Pourf ∈L(E, F)rappeler la d´efinition de la normekfk_L(E,F).

Le but de l’exercice est de montrer que si(F,k k_F)est un espace de Banach alors(L(E, F),k k_L(E,F)) aussi. On supposera donc dans toute la suite que(F,k k_F)est un Banach. Soit(f_n)_nune suite de Cauchy dans(L(E, F),k k_L(E,F)).

c)Montrer que

∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n, p≥N,∀x∈E, kf_n(x)−f_p(x)k_F ≤εkxk_E.

d)En d´eduire que pour toutx∈Ela suite(f_n(x))_nconverge dansF. On notef(x)∈F sa limite.

e)Soitf la fonction deE dansF qui `axassocie la limitef(x)obtenue `a la question pr´ec´edente.

Montrer que la fonctionf d´efinie une application lin´eaire deEdansF. f)En utilisant les questions c) et d), montrer soigneusement que

∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n≥N,∀x∈E, kf_n(x)−f(x)k_F ≤εkxk_E. g)En d´eduire quef ∈L(E, F)et que

∀ε >0, ∃N ∈N, ∀n≥N, kf_n−fk_L(E,F)≤ε.

h)Conclure.

Exercice 5. [4pts]Soitf :R² →Rd´efinie parf(x, y) =xy+ sin(x+y).

a)Montrer que l’´equationf(x, y) = 0 au voisinage de(x₀, y₀) = (0,0)d´etermine implicitement une fonctiony=ϕ(x)de classeC^∞.

b)Donner le d´eveloppement limit´e deϕ`a l’ordre2enx₀ = 0.

c)Donner l’´equation de la tangenteT `a la courbeC ={(x, y)∈R²|f(x, y) = 0}au point(0,0).

Cest-elle au dessus ou au dessous deT au voisinage de(0,0)? Justifiez votre r´eponse.