L3 Math´ematiques 15 d´ecembre 2020
Analyse complexe: contrˆole final
Dur´ee: 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Les t´el´ephones portables sont INTERDITS et doivent ˆetre ETEINTS.
Total des points sur 30 (le barˆeme de chaque exercice est donn´e `a titre indicatif).
Note finale: les 10 premiers points comptent en totalit´e, les suivants pour moiti´e.
Par exemple, pour un total de 16 sur 30, la note sera10 + 6/2 = 13sur 20.
Exercice 1(7pts). Soitf la fonction2π-p´eriodique d´efinie parf(x) = x2
4 pour toutx∈[0,2π[.
a)Montrer quef estC1 par morceaux et tracer son graphe sur[−4π,4π].
b)Montrer que les coefficients de Fourier trigonom´etriques def v´erifient
a0(f) = 2π2
3 et, pour toutn≥1, an(f) = 1
n2 et bn(f) = −π n.
c)Justifier que la s´erie de Fourier def converge simplement surRet donner pour toutx∈[0,2π]
la valeur de sa somme.
d)Calculer, en justifiant l’application des th´eor`emes utilis´es, les sommes des s´eries num´eriques
∞
X
n=1
1 n2 et
∞
X
n=1
(−1)n n2 .
e)Calculer, en justifiant l’application des th´eor`emes utilis´es, les sommes des s´eries num´eriques
∞
X
n=1
1 n4 et
∞
X
k=0
(−1)k 2k+ 1.
Indication: on pourra ˆetre amen´e `a utiliser les r´esultats obtenus `a la question pr´ec´edente.
Exercice 2(14pts). Etant donn´ea∈]0,1[∪]1,2[on consid`ere la fonction d´efinie par fa(z) = z
a−e−iz. Partie I. (6pts)
a) i)Justifier quefaest m´eromorphe surC.
ii)D´eterminer les pˆoles defaen pr´ecisant leur ordre.
iii)Calculer le r´esidu def en chacun de ses pˆoles.
b)Sin ∈N∗ on consid`ere le lacetγndonn´e par le rectangle de sommets−π, π, π+ in,−π+ in et parcouru une fois dans le sens direct.
i) Repr´esenter le lacet γn. On placera aussi sur le dessin le(s) pˆole(s) ´eventuel(s) de fa qui sont `a l’int´erieur deγn. On fera2dessins, un dans le casa ∈]0,1[et un dans le casa∈]1,2[.
TSVP
ii) Justifier que Z
γn
fa(z) dz est bien d´efinie et calculer sa valeur. Le r´esultat peut a priori d´ependre deaet/ou den.
Partie II. (8pts)Dans la suite de l’exercice on s’int´eresse `a l’int´egraleI(a) = Z π
0
tsin(t)
1 +a2−2acos(t)dt.
a)Montrer queI(a)est bien d´efinie. On pourra commencer par v´erifier que1 +a2 −2acos(t) = a−e−it
a−eit .
b) Donner un param´etrage de chacun des 4 segments [−π, π], [π, π + in], [−π + in, π + in] et [−π,−π+ in].
c)Montrer que Z
[−π,π]
fa(z) dz =−2iI(a). Indication: parit´e.
d)Montrer que lim
n→+∞
Z
[π+in,−π+in]
fa(z) dz = 0.
e) i)Montrer que pour toutn ∈N∗on a Z
[π,π+in]
fa(z) dz+ Z
[−π+in,−π]
fa(z) dz = 2iπ Z n
0
dt
a+ et = 2iπ Z n
0
e−t 1 +ae−tdt.
ii)Calculer2iπ Z n
0
e−t
1 +ae−t dtet en d´eduire la limite
n→∞lim Z
[π,π+in]
fa(z) dz+ Z
[−π+in,−π]
fa(z) dz
. f)CalculerI(a)en fonction des valeurs dea.
Exercice 3 (9pts). Soit Ω = D(0,1) le disque ouvert de centre 0et de rayon 1 etf : Ω → C une fonction holomorphe surΩet continue surΩ. On suppose de plus que pour toutz ∈ Ωon a
|f(z)| ≤1et quef 1
2
= 0.
a)Soitg(z) = z− 1
2 1−z 2 .
i)V´erifiez queg est holomorphe surΩet continue surΩ.
ii)Montrer que pour toutz ∈Ωon a|g(z)| ≤1et que de plus|g(z)|= 1si|z|= 1.
b)Soith= f g.
i)V´erifiez quehest m´eromorphe surΩet qu’elle a une unique singularit´e que l’on pr´ecisera.
ii)Montrez quehse prolonge en une fonction holomorphe surΩet continue surΩ.
c)Montrer que pour toutz ∈Ωon a|f(z)| ≤ |g(z)|.
d)On noteA l’ensemble des fonctionsf : Ω → Cholomorphes surΩ, continues surΩet telles quef
1 2
= 0et|f(z)| ≤1pour toutz ∈Ω. D´eterminersup
f∈A
f
i 2
.
