Note /10

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ECS2

Note /10

Interrogation de cours 11 du Mardi 7 Novembre 2021

Nom et prénom :

1. ( / 3,5 points) Compléter :

• kx+yk² =

• Inégalité de Cauchy Schwartz :

• kλxk=

• Inégalité triangulaire :

• Théorème de Pythagore pour n vecteurs :

• Que peut on dire d’une famille orthogonale de vecteurs ?

• Qu’est ce qu’une base orthonormée d’un espace euclidien ?

2. ( / 2 points) Compléter l’algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit (x₁, . . . , x_p)une ... de vecteurs de E.

• poser e₁ =

• une fois les vecteurs e₁, . . . , e_k construits, – poser v_k+1 =

– poser e_k+1 =.

3. ( / 1,5 points) Soit(E, <·,·>)un espace euclidien, B = (e1, . . . , en)une base orthonormale deE. Soient x, y ∈E des vecteurs de coordonnées (x₁, . . . , x_n)et (y₁, . . . , y_n)dans B. Compléter :

• < x, e_k >=

• < x, y >=

• ||x||² =

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4. ( / 4 points) Montrer quehP, Qi=

n

X

i=0

P(i)Q(i) est un produit scalaire sur E =Rⁿ[X].