L1 MIPI
17 Janvier 2020
Examen de Fonctions d’une variable r´eelle
Dur´ee: 2h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Les t´el´ephones portables sont INTERDITS et doivent ˆetre ETEINTS.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Le total des points est sur 30 (le barˆeme de chaque exercice est donn´e `a titre indicatif).
Note finale: les 10 premiers points comptent en totalit´e, les suivants pour moiti´e.
Par exemple, pour un total de 16 sur 30, la note sera10`6{2“13sur 20.
Exercice 1(Questions de cours, 2pts).
a)Soitf :RÑR. Donner la d´efinition,avec les quantificateurs, delim
xÑ2fpxq “5.
b)Enoncer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Exercice 2(2pts). On consid`ere la proposition (P) suivante:
Daą0, @xP R, xą4ùñx3 ąa.
a)Ecrire la n´egation de la proposition (P).
b)La proposition (P) est-elle vraie ou fausse? Justifiez votre r´eponse.
Exercice 3(4pts).
a)Rappeler, sans justification, les limites lim
xÑ0
lnp1`xq x etlim
xÑ0
ex´1 x . b)Calculer, si elles existent, les limite suivantes:
xÑ0lim
lnp1`3xq
2x , lim
xÑ0
e2 cospxq´1
cospxq et lim
xÑ`8
ex´x3 x2`1 .
Exercice 4(4pts).
a)Rappeler les d´eveloppements limit´es en0`a l’ordre3des fonctionslnp1`xqetex. b)D´eterminer un d´eveloppement limit´e en0`a l’ordre3de la fonctionlnp1`xqex. c)Calculer, si elle existe, la limitelim
xÑ0
lnp1`xqex´x´ x22
x3 .
Exercice 5(8pts). Soitfla fonction d´efinie surRparfpxq “
?x2`4´2
x six‰0etfp0q “ 0.
a)Justifier quef est d´erivable surR˚, calculerf1 et justifier quef1pxq ą 0pour toutxPR˚. TSVP
b)Montrer, en utilisant la d´efinition, quef est d´erivable en0et quef1p0q “ 1 4. c) D´eterminer les limites lim
xÑ`8fpxq et lim
xÑ´8fpxq, puis en d´eduire quel est l’ensemble fpRq.
Justifiez soigneusement votre r´eponse.
d)Justifier quef est bijective de Rsur un ensemble que l’on pr´ecisera. On notef´1 la fonction r´eciproque def. Quel est l’ensemble de d´efinition def´1?
e)Justifier quef´1est d´erivable en0et calculerpf´1q1p0q.
Exercice 6. (10pts).
Partie I.Soitf : r0,1s Ñ Rune fonction deux fois d´erivable. On consid`ere les trois hypoth`eses (H0)-(H1)-(H2) suivantes:
fp0q “ fp1q “0 (H0)
f1p0q ą0 et f1p1q ă0 (H1)
@xP r0,1s, f2pxq ă 0 (H2)
a)Repr´esenter graphiquement un exemple de fonctionf v´erifiant les hypoth`eses (H0) et (H1).
On suppose maintenant quef v´erifie les trois hypoth`eses (H0)-(H1)-(H2).
b)Montrer qu’il existe un uniquecP s0,1rtel quef1pcq “0.
c)Donner le tableau de variation def et en d´eduire quefpxq ą0pour toutxP s0,1r.
Partie II. SoitI un intervalle etg : I Ñ Rune fonction deux fois d´erivable v´erifiant g2pxq ă 0 pour toutxPI.
a)Dans cette question onfixea, bPI avecaăb. On consid`ere la fonctionf :r0,1s ÑRd´efinie par
fpxq “ g`
xa` p1´xqb˘
´xgpaq ´ p1´xqgpbq.
i)Justifier quef est bien d´efinie surr0,1s, qu’elle est deux fois d´erivable, et exprimerf1 etf2
`a l’aide deg1 etg2.
ii)Montrer quef v´erifie les hypoth`eses (H0) et (H2) de la partie I.
iii) Montrer que f v´erifie l’hypoth`ese (H1) de la partie I. Indication: on pourra utiliser le th´eor`eme des accroissements finis.
b)Montrer queg v´erifie la propri´et´e
@aăbPI, @xP s0,1r, g`
xa` p1´xqb˘
ąxgpaq ` p1´xqgpbq.
N.B.Une fonctiong v´erifiant cette derni`ere propri´et´e est dite strictement concave.
