1 D´ erivabilit´ e des fonctions num´ eriques de la variable r´ eelle.

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II Analyse

D´ erivabilit´ e des fonctions num´ eriques d’une variable r´ eelle.

Il s’agit dans ce paragraphe d’introduire les notions li´ ees ` a la d´ erivabilit´ e.

1 D´ erivabilit´ e des fonctions num´ eriques de la variable r´ eelle.

D´ efinition 1.1. Soit f une fonction num´ erique de la variable r´ eelle x . On suppose que f est d´ efinie sur un voisinage de x 0 . On dit que f est d´ erivable en un point x 0 si ^f(x)−f(x _x−x

⁾

0

tend vers une limite finie l si x tend vers x 0 . On appelle alors nombre d´ eriv´ e en x 0 la limite l et on pose f ⁰ (x 0 ) = l (notation de Newton) ou _dx ^df (x 0 ) = l (notation de Leibnitz).

Remarque 1.2. Le nombre d´ eriv´ e est unique s’il existe (comme toute limite).

D´ efinition 1.3. Soit f une fonction num´ erique. On suppose que f est d´ efinie sur l’intervalle I . On dit que f est d´ erivable sur I si f est d´ erivable en tout point de I . On note D(I; R ) l’ensemble des fonctions d´ erivables sur I

Exemple 1.4. La fonction constante x 7→ C est d´ erivable sur R et son nombre d´ eriv´ e en tout point x ₀ de R est 0 . La fonction affine x 7→ ax + b est d´ erivable sur R et son nombre d´ eriv´ e en tout point x ₀ de R est a .

Exemple 1.5. La fonction x 7→ |x| est d´ erivable sur R ^∗ . Elle n’est pas d´ erivable en 0 . La fonction x 7→ E(x) est d´ erivable sur R − Z .

Remarque 1.6. (Interpr´ etation g´ eom´ etrique) Soient M = (x, f(x)) et M ₀ = (x ₀ , f (x ₀ )) les points du graphe de f . Alors le rapport ci-dessus repr´ esente la pente de la droite joignant M ₀ ` a M . Alors si f est d´ erivable en x ₀ , cette droite a pour limite la droite d’´ equation

y − f (x ₀ ) = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) que l’on appelle tangente ` a la courbe en M 0 .

Remarque 1.7. Lorsque le rapport tend vers +∞ ou −∞ , on parle parfois de l’existence d’une tangente verticale.

Proposition 1.8. Soit f une fonction d´ efinie sur l’intervalle I . Soit x 0 un point de l’int´ erieur de I . Si f est d´ erivable en x ₀ , alors f est continue en x ₀ .

D´ emonstration. Il suffit de noter que f(x) − f (x ₀ ) = (x − x ₀ )r(x) o` u r(x) tend vers f ⁰ (x ₀ ) lorsque x tend vers x 0 . Donc f (x) − f (x 0 ◦ tend bien vers 0 si x tend vers x 0 .

Th´ eor` eme 1. Op´ erations sur les fonctions d´ erivables. Soient f et g des fonctions num´ eriques. Soit λ un scalaire r´ eel. Soit x 0 un r´ eel.

— Si f et g sont d´ erivables en x 0 alors la fonction f + g est d´ erivable en x 0 ; de plus (f + g) ⁰ (x 0 ) = f ⁰ (x ₀ ) + g ⁰ (x ₀ ) ;

— Si f est d´ erivable en x ₀ , alors la fonction λf est d´ erivable en x ₀ et (λf ) ⁰ (x ₀ ) = λf ⁰ (x ₀ ) ;

— Si f et g sont d´ erivables en x ₀ alors la fonction f g est d´ erivable en x ₀ et (f g) ⁰ (x ₀ ) = f ⁰ (x ₀ )g(x ₀ )+

f (x ₀ )g ⁰ (x ₀ ) ;

— Si f et g sont d´ erivables en x ₀ et si, de plus, g(x ₀ ) est non nulle alors la fonction ^f _g est d´ erivable en x ₀ et

f g

0

(x ₀ ) = ^f

^(x

^)g(x _g

^)−f(x _(x

^)g

^(x

⁾

0

) ;

D´ emonstration. Les deux premiers r´ esultats sont imm´ ediats (th´ eor` eme sur les limites).

Etudions le taux de variation de la fonction ´ f g : (f g)(x) − (f g)(x ₀ )

x − x 0

= f (x)g(x) − f (x)g(x ₀ ) + f (x)g(x ₀ ) − f (x ₀ )g(x ₀ ) x − x 0

= f (x) − f (x ₀ ) x − x 0

g(x)+f (x ₀ ) g(x) − g(x ₀ ) x − x 0

d’o` u le r´ esultat cherch´ e.

De mˆ eme

f

g (x) − ^f _g (x 0 ) x − x 0

= 1

g(x)g(x 0 )

f (x)g(x 0 ) − f (x 0 )g(x) x − x 0

soit f

g (x) − ^f _g (x ₀ ) x − x 0

= 1

g(x)g(x 0 )

f (x) − f (x ₀ ) x − x 0

g(x ₀ ) − f(x) g(x) − g(x ₀ ) x − x 0

. Enfin

(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(x 0 )

x − x ₀ = g(f (x)) − g(f (x 0 )) f (x) − f (x ₀ )

f (x) − f (x 0 ) x − x ₀ .

Remarque 1.9. Le dernier r´ esultat est plus facile ` a ´ ecrire avec la notation de Leibnitz : d(g ◦ f)

dx (x 0 ) = dg dy (y 0 ) df

dx (x 0 ) .

Corollaire 1.10. Soit f une fonction d´ efinie sur l’intervalle ouvert I . On dit que f est d´ erivable sur I si et seulement si elle est d´ erivable en tout point de I . L’ensemble D(I; R ) des fonctions d´ erivables sur I est un espace vectoriel (sous-espace vectoriel de l’espace C ⁰ (I; R )).

Corollaire 1.11. Soit f une fonction paire (resp. impaire) sur l’intervalle I = [−a, a] (o` u a > 0). On suppose que f est d´ erivable sur I . Alors la fonction d´ eriv´ ee de f est impaire (resp. paire).

Corollaire 1.12. Soit f une fonction continue strictement monotone de l’intervalle I sur l’intervalle J et soit g la fonction r´ eciproque de f (elle est donc continue et strictement monotone). Si f est d´ erivable en x ₀ point int´ erieur ` a I et que f ⁰ (x ₀ ) 6= 0 , alors

g ⁰ (y 0 ) = 1 f ⁰ (x ₀ ) .

Remarque 1.13. On en d´ eduit les d´ eriv´ ees des fonctions r´ eciproques des fonctions classiques :

— On sait que ln x est d´ erivable sur R ^+∗ de d´ eriv´ ee ´ egale ` a _x ¹ . Alors exp y = exp (ln x) a pour d´ eriv´ ee ¹

x0

= x ₀ = exp y ₀ .

— Si, au contraire, on sait que exp x a pour d´ eriv´ ee exp x sur R , on en d´ eduit que ln y = ln (exp x) a pour d´ eriv´ ee _exp ¹ _x

0

= _y ¹

0

.

— On sait que sin x a pour d´ eriv´ ee cos x sur l’intervalle [− ^π ₂ , ^π ₂ ] . Sur cet intervalle, on a cos x = q

1 − sin ² x

. D’o` u, si y appartient ` a ] − 1, 1[ , Arcsin ⁰ (y) = 1

cos (x) = 1

q

1 − sin ² x

= 1

p 1 − y ² .

— De mˆ eme on sait que cos x a pour d´ eriv´ ee − sin x sur l’intervalle [0, π] . Sur cet intervalle, on a sin x = p

(1 − cos ² x) . D’o` u, si y appartient ` a ] − 1, 1[ , Arccos ⁰ (y) = − 1

sin (x) = − 1

p (1 − cos ² x) = − 1

p 1 − y ² .

— On sait que tan x a pour d´ eriv´ ee _cos ¹

_x = 1 + tan ² x sur l’intervalle ] − ^π ₂ , ^π ₂ [ . D’o` u, si y appartient

` a R ,

Arctan ⁰ (y) = 1

1 + tan ² (x) = 1 1 + y ² .

— On sait que sh(x) a pour d´ eriv´ ee ch(x) sur R . Par ailleurs ch ² (x) − sh ² (x) = 1 . D’o` u ch(x) = q

1 + sh ² (x) et

Argsh ⁰ (y) = 1

ch(x) = 1 p 1 + y ² . Notons qu’un simple calcul montre que l’on a ´ egalement

Argsh ⁰ (y) = ln y + p

1 + y ² .

— On sait que ch(x) a pour d´ eriv´ ee sh(x) sur R . Par ailleurs ch ² (x) − sh ² (x) = 1 . D’o` u, si x ≥ 0 , sh(x) =

q

ch ² (x) − 1 et, si y > 1 ,

Argch ⁰ (y) = 1

sh(x) = 1 p y ² − 1 . Notons qu’un simple calcul montre que l’on a ´ egalement

Argch ⁰ (y) = ln y + p

y ² − 1 .

— Enfin on sait que th(x) a pour d´ eriv´ ee 1 − th ² (x) . D’o` u, si y ∈] − 1, 1[ , Argth ⁰ (y) = 1

1 − th ² (x) = 1 1 − y ² . Notons qu’un simple calcul montre que l’on a ´ egalement

Argth ⁰ (y) = 1 2 ln

1 + y 1 − y

.

Th´ eor` eme de Rolle et th´ eor` eme des accroissements finis.

Th´ eor` eme 2. (de Rolle) Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a, b] et d´ erivable sur ]a, b[ . On suppose que f (a) = f (b) = 0 . Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f ⁰ (c) = 0 .

(Indication de la) D´ emonstration. Comme f est continue sur l’intervalle I = [a, b] , elle y est born´ ee et atteint son maximum M en c et son minimum en c ⁰ . Si M = m = 0 , c’est que notre fonction est constante. Alors le th´ eor` eme de Rolle est imm´ ediat. Nous pouvons donc supposer que (par exemple) M 6= 0 . Alors c ∈]a, b[ . Mais f <sup>0</sup> (c) est la limite lorsque x tend vers c par valeurs inf´ erieures (resp. par valeurs sup´ erieures) du rapport <sup>f(x)−c</sup> <sub>x−c</sub> . Or si x est plus petit que c , le num´ erateur de ce rapport est n´ egatif (∀x ∈ [a, b] , f(c) = M ≥ f (x)) et le d´ enominateur aussi. Le rapport est donc positif ou nul et, par passage ` a la limite, f ⁰ (c) ≥ 0 . Mais si x est plus grand que c , le num´ erateur de ce rapport reste n´ egatif (∀x ∈ [a, b] , f (c) = M ≥ f (x)) et le d´ enominateur devient positif. Le rapport est donc n´ egatif ou nul et, par passage ` a la limite, f ⁰ (c) ≤ 0 . Bref f ⁰ (c) = 0 .

Remarque 1.14. Interpr´ etation g´ eom´ etrique. Entre deux points o` u le graphe de f coupe l’axe des x ,

il existe donc n´ ecessairement (au moins) un point o` u la tangente est horizontale.

Th´ eor` eme 3. (des accroissements finis) Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a, b] et d´ erivable sur ]a, b[ . Alors il existe c dans ]a, b[ tel que

f (b) − f (a) = f ⁰ (c)(b − a) .

(Indication de la) D´ emonstration. Nous allons nous ramener au th´ eor` eme de Rolle. Introduisons la fonction

ϕ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

b − a (x − a) .

On remarquera que ϕ(a) = ϕ(b) = 0 . Par ailleurs ϕ ⁰ (x) = f ⁰ (x) − ^f(b)−f(a) _b−a x . D’apr` es le th´ eor` eme de Rolle, il existe donc un point c dans l’intervalle ]a, b[ tel que ϕ ⁰ (c) = 0 soit f ⁰ (c) = ^f(b)−f(a) _b−a .

Remarque 1.15. On trouve parfois la formulation suivante. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a, b] et d´ erivable sur ]a, b[ . On pose h = b − a . Alors il existe θ dans ]0, 1[ tel que

f(a + h) − f (a) = hf ⁰ (a + θh) .

Remarque 1.16. Interpr´ etation g´ eom´ etrique. Entre deux points du graphe de f , il existe donc n´ ecessairement (au moins) un point o` u la tangente est parall` ele ` a la corde.

Corollaire 1.17. Soit f une fonction d´ efinie et d´ erivable sur l’intervalle I . Elle y est croissante si et seulement si elle y admet une d´ eriv´ ee positive ou nulle.

Corollaire 1.18. Soit f une fonction d´ efinie et d´ erivable sur l’intervalle I . On suppose qu’elle y admet une d´ eriv´ ee strictement positive. Alors f est strictement croissante.

Remarque 1.19. Naturellement, comme le montre le cas de la fonction x ² , une fonction peut ˆ etre strictement monotone sur R alors que sa d´ eriv´ ee s’annule en un point.

Corollaire 1.20. Th´ eor` eme des accroissements finis (variante). Soit f une fonction continue sur l’inter- valle I = [a, b] et d´ erivable sur ]a, b[ . On suppose que la fonction d´ eriv´ ee |f ⁰ | admet une borne sup´ erieure M sur l’intervalle ]a, b[ . Alors

∀x ∈ [a, b] |f (x) − f (a)| ≤ M |x − a| .

Remarque 1.21. On remarquera que les hypoth` eses du corollaire pr´ ec´ edent sont satisfaites lorsque la fonction f admet une fonction d´ eriv´ ee sur l’intervalle [a, b] tout entier qui est de plus continue sur l’intervalle [a, b] .

D´ efinition 1.22. On note C ¹ (I; R ) l’espace (vectoriel) des fonctions continues, d´ erivables ` a d´ eriv´ ee continue sur l’intervalle I .

2 D´ eriv´ ees d’ordre sup´ erieur.

G´ en´ eralit´ es

Nous allons donner une d´ efinition (par r´ ecurrence sur l’entier n). Soit f une fonction d´ efinie sur

l’intervalle (ouvert) I . Si f est d´ erivable sur I , sa d´ eriv´ ee f ⁰ est aussi une fonction d´ efinie sur I . Si

elle est elle-mˆ eme d´ erivable, on appellera f” sa d´ eriv´ ee et on l’appelle la d´ eriv´ ee seconde de f . Plus

g´ en´ eralement :

D´ efinition 2.1. Soit f une fonction d´ efinie sur l’intervalle (ouvert) I . Soit f ⁽ⁿ⁾ sa d´ eriv´ ee d’ordre n sur I . Si cette fonction est elle-mˆ eme d´ erivable, on la note f ⁽ⁿ⁾ et on l’appelle d´ eriv´ ee n + 1-i` eme de f sur I .

D´ efinition 2.2. On note C ⁿ (I; R ) l’espace vectoriel des fonctions admettant des d´ eriv´ ees sur I jusqu’` a l’ordre n et dont la d´ eriv´ ee n-i` eme est continue sur I .

Proposition 2.3. Soit f une fonction d´ efinie sur l’intervalle (ouvert) I . On suppose que f admet une d´ eriv´ ee ` a l’ordre n + 1 sur I . Alors f appartient ` a C ⁿ (I; R ) .

Th´ eor` eme 4. Soit I un intervalle de R et x 0 un point de l’int´ erieur de I . Alors

— si f et g sont deux fonctions d´ erivables ` a l’ordre n en x 0 , alors f + g est d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 et

(f + g) ⁿ (x 0 ) = f ⁿ (x 0 ) + g ⁿ (x 0 ) .

— si λ est un r´ eel et f une fonction d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 alors λf est d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 et

(λf ) ⁿ (x 0 ) = λf ⁿ (x 0 ) .

— si f et g sont deux fonctions d´ erivables ` a l’ordre n en x 0 , alors f × g est d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 .

— si f et g sont deux fonctions d´ erivables ` a l’ordre n en x 0 , si g(x 0 ) 6= 0 alors <sup>f</sup> <sub>g</sub> est d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 .

— si f est d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 ainsi que g en y 0 = f (x 0 ) , alors g ◦ f est d´ erivable ` a l’ordre n en x 0 .

D´ emonstration. Les deux premi` eres propri´ et´ es sont faciles. Montrons les autres par r´ ecurrence. En effet, par exemple, (f g) <sup>(n+1)</sup> = (f g) <sup>0</sup> ) <sup>(n)</sup> = ((f <sup>0</sup> g + f g <sup>0</sup> ) <sup>(n)</sup> = (f <sup>0</sup> g) <sup>(n)</sup> + (f g <sup>0</sup> ) <sup>(n)</sup> et l’on applique l’hy- poth` ese de r´ ecurrence aux fonctions f ⁰ , g et f, g ⁰ respectivement. On op` ere de fa¸ con totalement analogue pour les autres propri´ et´ es.

Proposition 2.4. (Formule de Leibnitz) Soit I un intervalle contenant x ₀ . Soient f et g sont deux fonctions d´ erivables ` a l’ordre n en x ₀ . Alors

(f g) ⁽ⁿ⁾ (x) = (f × g) ⁽ⁿ⁾ (x) =

n

X

i=0

n!

i!(n − i)! f ⁽ⁱ⁾ (x)g ⁽ⁿ⁻ⁱ⁾ (x) .

D´ emonstration. Le cas n = 1 a ´ et´ e vu plus haut. D´ emontrons la formule ` a l’ordre n + 1 . h

(f g) ⁽ⁿ⁾ i 0

(x) =

n

X

i=0

n!

i!(n − i)!

h

f ⁽ⁱ⁾ (x)g ⁽ⁿ⁻ⁱ⁾ (x) i 0

=

n

X

i=0

n!

i!(n − i)!

f ⁽ⁱ⁺¹⁾ (x)g ⁽ⁿ⁻ⁱ⁾ (x) + f ⁽ⁱ⁾ (x)g ^(n+1−i) (x) soit

h

(f g) ⁽ⁿ⁾ i 0

(x) =

n+1

X

h=0

n!(n + 1 − h)

h!(n + 1 − h)! + n!(h) h!(n + 1 − h)!

f ^(h) (x)g ^(n+1−h) (x) et

h

(f g) ⁽ⁿ⁾ i 0

(x) =

n+1

X

h=0

(n + 1)!

h!(n + 1 − h)! f ^(h) (x)g ^(n+1−h) (x) .

D´ efinition 2.5. On notera C ⁿ (I; R ) l’espace (vectoriel) des fonctions continues, d´ erivables ` a l’ordre n dont la d´ eriv´ ee n-i` eme est continue sur l’intervalle I .

Formule(s) de Taylor.

Th´ eor` eme 5. (Taylor-Lagrange) Soit f une fonction num´ erique de la variable r´ eelle d´ efinie sur l’inter- valle I = [a, b] . On suppose que f est d´ erivable ` a l’ordre n + 1 sur l’intervalle ]a, b[ . Alors il existe un point c de l’intervalle ]a, b[ tel que

f (b) =

n

X

i=0

f ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (b − a) ⁱ + f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (b − a) ⁿ⁺¹ . D´ emonstration. Variante 1. Posons

ϕ(x) = f (x) −

n

X

i=0

f ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (x − a) ⁱ − A(x − a) ⁿ⁺¹

o` u la constante r´ eelle A sera choisie ult´ erieurement. Par construction ϕ(a) = 0 et on choisit A de fa¸ con

`

a ce que ϕ(b) = 0 . On a par ailleurs

∀h ; 0 ≤ h ≤ n + 1 ϕ ^(h) (x) = f ^(h) (x) −

n

X

i=h

f ⁽ⁱ⁾ (a)

(i − h)! (x − a) ^i−h − A (n + 1)!

(n + 1 − h)! (x − a) ^n+1−h . On en d´ eduit que

ϕ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) − A(n + 1)! .

Mais d’apr` es le th´ eor` eme de Rolle appliqu´ e ϕ sur l’intervalle [a, b], on voit qu’il existe c dans ]a, b[ tel que ϕ ⁰ (c) = 0 . On constate que ϕ ⁰ (a) = 0 ainsi que d’ailleurs les ϕ ^(h) (a) pour 0 ≤ h ≤ n . D’o` u, par r´ ecurrence, en appliquant le th´ eor` eme de Rolle aux fonctions ϕ ^(h) (pour 0 ≤ h ≤ n), on en d´ eduit l’existence de points c _h v´ erifiant

a < c n < c n−1 < . . . < c 1 = c < b

et tels que ϕ ^(h) (c h ) = 0 . On peut donc appliquer une derni` ere fois le th´ eor` eme de Rolle ` a la fonction ϕ ⁽ⁿ⁾ et trouver ainsi un c dans ]a, b[ tel que ϕ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) = 0 soit

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) = A(n + 1)! . D´ emonstration. Variante 2. Posons

ψ(x) = f (x) − f (b) +

n

X

i=0

(b − x) ⁱ

i! f ⁽ⁱ⁾ (x) + (b − x) ⁿ⁺¹ (n + 1)! A . Alors

ψ ⁰ (x) = f ⁰ (x) −

n

X

i=1

(b − x) ⁱ⁻¹

(i − 1)! f ⁽ⁱ⁾ (x) +

n

X

i=0

(b − x) ⁱ

i! f ⁽ⁱ⁺¹⁾ (x) − (b − x) ⁿ n! A . Soit

ψ ⁰ (x) = f ⁰ (x) − f ⁰ (x) −

n

X

i=2

(b − x) ⁱ⁻¹

(i − 1)! f ⁽ⁱ⁾ (x) +

n

X

i=0

(b − x) ⁱ

i! f ⁽ⁱ⁺¹⁾ (x) − (b − x) ⁿ n! A

et

ψ ⁰ (x) = −

n−1

X

j=1

(b − x) ^j

j! f ^(j+1) (x) +

n

X

i=0

(b − x) ⁱ

i! f ⁽ⁱ⁺¹⁾ (x) − (b − x) ⁿ

n! A = (b − x) ⁿ n!

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) − A .

Or ψ(b) = 0 par construction et on peut choisir A pour que ψ(a) = 0 . Dans ce cas, une simple

application du th´ eor` eme de Rolle ` a la fonction ψ montre qu’il existe c dans ]a, b[ tel que ψ ⁰ (c) = 0 soit

encore f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c) = A (ce que l’on cherchait ` a d´ emontrer).

Corollaire 2.6. Soit P une fonction polynomiale de degr´ e au plus n . Alors

∀x ∈ R P (x) =

n

X

i=0

f ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (x − a) ⁱ .

On notera en effet que P ⁽ⁿ⁺¹⁾ est identiquement nulle. On retrouve ainsi un r´ esultat connu sur les polynˆ omes (P est d´ etermin´ e par sa valeur en a et les valeurs en a de ses n premi` eres d´ eriv´ ees).

Corollaire 2.7. Soit f une fonction num´ erique de la variable r´ eelle d´ efinie sur l’intervalle I = [a, b] et d´ erivable ` a l’ordre n + 1 sur l’intervalle ]a, b[ . On suppose que la valeur absolue de cette d´ eriv´ ee d’ordre n + 1 est born´ ee par M . Alors

f (b) −

n

X

i=0

f ⁽ⁱ⁾ (a)

i! (b − a) ⁱ

≤ M

(n + 1)! |b − a| ⁿ⁺¹ .

Corollaire 2.8. Soit f une fonction num´ erique de la variable r´ eelle d´ efinie sur l’intervalle I = [a, b]

et d´ erivable ` a l’ordre n sur l’intervalle ]a, b[ . On suppose qu’en x ₀ point de ]a, b[ , les nombres d´ eriv´ es v´ erifient ∀1 ≤ i ≤ n − 1 f ⁽ⁱ⁾ (x ₀ ) = 0 et f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) 6= 0 . Alors on dit que le point (x ₀ , f(x ₀ )) est un point d’inflexion si n est impair. Si n est pair, le point est un extremum local (minimum local si f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) > 0 et maximum local si f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) < 0 .

D´ emonstration. On a l’´ egalit´ e

f (b) = f(x ₀ ) + f ⁽ⁿ⁾ (c)

n! (b − x ₀ ) ⁿ .

Donc si n est pair, on voit que l’expression f (b) − f (x ₀ ) est du signe de f ⁽ⁿ⁾ (c) c’est ` a dire du signe de f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) donc positive si f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) > 0 et n´ egative si f ⁽ⁿ⁾ (x ₀ ) < 0 .

Par contre si n est impair, on voit que l’expression f (b) − f (x 0 ) change de signe lorsque b est proche de x 0 .

Th´ eor` eme 6 (Th´ eor` eme de Taylor-Young). Soit f une fonction d´ efinie sur un intervalle ouvert I =]a, b[

contenant le point x 0 . On suppose que f ainsi que toutes ses d´ eriv´ ees jusqu’` a l’ordre n sont d´ efinies sur I . On suppose que f est d´ erivable ` a l’ordre n + 1 en x 0 . Alors

f (x 0 + h) =

n

X

i=0

f ⁽ⁱ⁾ (x 0 )

i! h ⁱ + f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x 0 )

(n + 1)! h ⁿ⁺¹ + f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x 0 )(x)

o` u (x) est une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers x 0 .