1 Limites des fonctions num´ eriques de la variable r´ eelle.

Alg`ebre et analyse ´el´ementaires II Analyse

Propri´et´es des fonctions num´eriques d’une variable r´eelle.

Il s’agit dans ce paragraphe de g´en´eraliser les notions de limite vues pour les suites aux fonctions num´eriques d’une variable r´eelle. Ensuite on introduira les notions de continuit´e et de d´erivabilit´e. Nous allons nous inspirer des d´efinitions utilis´ees au premier semestre lors de l’´etude des suites num´eriques.

Rappelons que l’on dit que la suite un tend versl (resp. +∞ou−∞) sintend vers +∞lorsque

∀ >0∃n0∈N;n > n0⇒ |un−l|<

(respectivement

∀A >0 ∃n0∈N;n > n₀⇒u_n > A ou

∀A >0 ∃n₀∈N;n > n₀⇒u_n <−A )

L’objectif est de d´efinir la notion d’ordre de grandeur d’une fonction au voisinage d’un point ou au voisinage de±∞.

1 Limites des fonctions num´ eriques de la variable r´ eelle.

On d´esignera parf une fonction num´erique deRdansRc’est-`a-dire une application d´efinie sur une partie D deR(que l’on appellera domaine de d´efinition). La plupart du temps ce domaine de d´efinition sera un intervalle ou une r´eunion finie d’intervalles.

Exemple 1.1. La fonction x7→exp (x)est d´efinie sur R mais la fonction x7→ln (x) n’est d´efinie que sur ]0,+∞[. La fonctionx7→ln|x| est d´efinie surR^∗=]− ∞,0[∪]0,+∞[ .

D´efinition 1.2. On dit que f est born´ee si la partie f(D) (appel´ee image de f) est une partie born´ee deRc’est `a dire que

∃M >0 ∀x∈D |f(x)| ≤M .

Exemple 1.3. Les fonctions polynomiales (de degr´e au moins1) ne sont pas born´ees surR. La fonction x7→exp (x) est d´efinie sur Ret n’y est pas born´ee. La fonction _1+x¹₂ est d´efinie sur Ret y est born´ee (par1).

Dans ce qui suit, on supposera toujours que le domaine de d´efinition des fonctions contient un intervalle de la forme ]x0−η, x0+η[ (sauf ´eventuellementx0).

D´efinition 1.4. On dit que f(x)tend versl sixtend versx0 si

∀ >0 , ∃η >0 ; (x6=x0 et |x−x0|< η)⇒ |f(x)−l|< .

On dit que l’on peut rendre f(x)aussi proche del que l’on veut si l’on choisitxsuffisamment proche de x0 .

Remarque 1.5. On remarquera quef n’est pas n´ecessairement d´efinie enx0dans la d´efinition pr´ec´edente.

Exemple 1.6. Ainsi la fonctionf(x) =xsin_x¹ (pour x6= 0) admet 0pour limite si xtend vers 0 .

V´erifions le. Soit >0 . On cherche donc η tel que |x| =|x−0| ≤ η ⇒ |f(x)| =|f(x)−0| ≤ . Prenonsη≤ . Alors, comme∀y∈R|sin (y)≤1 , on a

|f(x)|=

xsin1 x

=|x|

sin1 x

≤ |x| ≤η≤ .

D´efinition 1.7. On dit que f(x)tend vers+∞(respectivement −∞) sixtend vers x0 si

∀A >0 , ∃η >0 ;x6=x₀ et |x−x₀|< η⇒f(x) > A (respectivement

∀A >0, ∃η >0 ;x6=x0 et |x−x0|< η⇒f(x) < −A)

Bref on peut rendref(x)arbitrairement grand (resp. petit) pourvu quexsoit suffisamment proche dex₀ .

Exemple 1.8. Ainsix7→ ¹_x tend-elle vers+∞sixtend vers 0⁺ . Il s’agit de v´erifier la propri´et´e suivante :

∀A >0 ∃η >0 ; 0< x < η⇒ 1 x> A .

Prenonsη <_A¹ . Alors

0< x≤η⇒0< x < 1

A ⇒0< Ax <1⇒0< A < 1 x .

Remarque. On d´efinit de fa¸con analogue une limite finie ou infinie lorsque la variable r´eelle x tend vers +∞ou−∞.

Exemple 1.9. La fonctionx7→exp (x)tend vers +∞sixtend vers +∞ .

Proposition 1.10. Sif admet une limite l en x0 ou en +∞(resp.−∞) alorsl est unique.

(Indication de la) D´emonstration. Si l’on suppose que l1 etl2sont deux limites (par exemple enx0) alors

∀ >0∃η1>0 ; |x−x0| ≤η1⇒ |f(x)−l1| ≤ mais aussi

∀ >0∃η2>0 ; |x−x0| ≤η2⇒ |f(x)−l2| ≤ .

Comme on raisonne par l’absurde et que l2 6= l1 , on peut prendre <|l2−l1|/2 . Or, si l’on prend η < η1 etη < η2(associ´es `a un tel choix de) on a

|x−x0|< η⇒ |f(x)−l1|< et|f(x)−l2|< . Ainsi

|l2−l1| ≤ |l2−f(x)|+|f(x)−l1|<2 <|l2−l1|. Et ceci est bien sˆur impossible.

Th´eor`eme 1. Op´erations sur les limites. Soient f et g des fonctions num´eriques. Soit λ un scalaire r´eel. Soit x0 un r´eel.

— Si f etg admettent des limites respectives l etl⁰ lorsque xtend vers x0 alors la fonction f +g admet une limite enx0´egale `al+l⁰;

— Sif admet l comme limite lorsquex tend versx₀ , alors la fonctionλf admet une limite enx₀

´egale `aλl;

— Sif etg admettent des limites respectivesl etl⁰ lorsquextend versx₀ alors la fonctionf gadmet une limite enx0 ´egale `all<sup>0</sup>; Sif etg admettent des limites respectivesl etl<sup>0</sup> lorsquextend vers x0 et si, de plus, la limite l<sup>0</sup> est non nulle alors la fonction <sup>f</sup><sub>g</sub> admet une limite enx0´egale `a ^l_l⁰;

— Sif tend vers l alors|f| tend vers|l| .

Ces r´esultats se d´emontrent de fa¸con tout `a fait analogue aux r´esultats concernant les limites des suites num´eriques.

Quelques indications.

— Soit λun nombre r´eel. Siλ= 0 alors la fonction λf est nulle quelque soit f . Alors la fonction 0 admet 0 comme limite en tout pointx0 . Nous pouvons donc supposer que λ6= 0 . Soit >0 quelconque. On sait qu’il existe alorsη tel que

|x−x0|< η⇒ |f(x)−f(x0)|<

|λ| . Alors

|x−x0| ≤η⇒ |λf(x)−λl|=|λ| |f(x)−l|<|λ|

|λ| = .

— Supposons quef tende verslenx0 et quegtende versl⁰ sixtend versx0 . Alors

∀ >0 ∃η1 |x−x₀|< η₁⇒ |f(x)−l|< /2 et

∀ >0 ∃η2|x−x0|< η2⇒ |g(x)−l⁰|< /2. Prenons alorsη tel que η < η1 etη < η2 . On aura

|x−x0|< η⇒ |f(x)−l|< /2 et |g(x)−l⁰|< /2 soit

|(f+g)(x)−l−l⁰| ≤ |f(x)−l|+|g(x)−l⁰|< /2 +/2 = . C’est ce que nous cherchions.

— Supposons quef tende verslenx₀et quegtende versl⁰sixtend versx₀. Soit >0 quelconque.

PrenonsM tel que|l−|< M ,|l+|< M ,|l⁰−|< M et|l⁰+|< M . On v´erifie que|l|< M et|l⁰|< M . Prenons alors

∃η1 ; |x−x0|< η1⇒ |f(x)−l|< /M et

∃η₂ ; |x−x₀|< η₂⇒ |g(x)−l⁰|< /M . Alors

Th´eor`eme 2. Soit f et g des fonctions num´eriques. On suppose que f(x) tend vers l lorsquex tend vers x0 . On suppose que g(y) tend versl⁰ lorsquey tend versl et que g(l) =l⁰ . Alors (g◦f)(x)tend vers l⁰ .

D´emonstration. Il s’agit donc d’´etudier |g(f(x))−l⁰| lorsque x tend vers x0 . Soit donc > 0 quelconque. Alors il existeη >0 tel que

|y−l|< η⇒ |g(y)−l⁰|<

(puisqueg(y) tend versl⁰ siy tend versl et queg(l) =l⁰). Prenonsy=f(x) . Commef(x) tend versl lorsquextend versx0 , il existeη⁰ tel que

|x−x₀|< η⁰ ⇒ |f(x)−l|< η

six6=x₀ . Bref

|x−x0|< η⁰⇒ |f(x)−l|< η⇒ |g(f(x))−l⁰|< . C’est ce que nous devions montrer.

Th´eor`eme 3. Op´erations sur les limites (suite). Soient f et g des fonctions num´eriques. Soit λ un scalaire r´eel. Soitx0 un r´eel.

— Si f admet une limite finie l et que g admet une limite infinie +∞ ou −∞lorsque xtend vers x₀ alors la fonction f+g admet une limite enx₀´egale `a celle de g;

— Sif et g admettent+∞(resp. −∞) lorsque xtend vers x₀ , alors la fonctionf+g admet une limite enx₀ ´egale `a+∞ (resp.−∞) ;

— Sif admet une limite finie non nulle l etg admet une limite ´egale `a+∞ ou−∞lorsquextend versx0alors la fonctionf g admet une limite infinie dont le signe est le produit des signes del et de la limite deg;

— Si f admet une limite finie non nulle l et g admet une limite ´egale `a 0 lorsque xtend vers x0

alors la fonction ^f_g admet une limite infinie enx0 (on suppose queg(x) ne s’annule pas sur un intervalle centr´e en x0 et y garde un signe constant ou garde un signe constant sur chacun des intervalles born´es parx0) ;

— Si f admet une limite finie l et g admet une limite ´egale `a +∞ ou−∞ lorsquex tend vers x0

alors la fonction ^f_g admet une limite nulle enx0 .

— Sif admet une limite ´egale `a+∞ou−∞ etg admet une limite ´egale `a+∞ ou−∞lorsque x tend versx0 alors la fonction f g admet une limite infinie dont le signe est le produit des signes de la limite def et de celle de g;

Remarque. On appelle ”forme ind´etermin´ee” les expressions conduisant `a l’´etude de+∞ − ∞,0× ∞ ou encore <sup>0</sup><sub>0</sub> et <sup>∞</sup><sub>∞</sub> . Nous verrons ult´erieurement comment lever ces ind´eterminations sous certaines hypoth`eses.

Exemple 1.11. — Les exemples f(x) = 1/x et g(x) = 1/x² ou g(x) = 2 + 1/x oug(x) = 1/x+ sin (1/x) lorsque xtend vers 0⁺ donnent ainsi diff´erentes limites lorsque l’on ´etudie (f −g)(x) puisque 1/x−1/x²= (x−1)/x² tend vers −∞alors que 1/x−1/x−2 =−2 tend vers−2 ou encore −sin (1/x)n’a pas de limite lorsque xtend vers0 .

— De mˆeme, les exemples f(x) = x et g(x) = 1/x ou g(x) = 1/x² ou g(x) = 1/√

x donnent diff´erentes limites lorsque xtend vers0 .

Quelques indications.

— Supposons par exemple que la fonctionf admette une limite finie let que la fonctiong admette une limite infinie ´egale `a +∞lorsquextend versx0. On a donc

∀ >0 , ∃η >0 ; (x6=x₀ et|x−x₀|< η)⇒ |f(x)−l|<

et

∀A >0 , ∃η >0 ;x6=x₀et |x−x₀|< η⇒g(x) > A . SoitA >0 quelconque. Prenons >0 quelconque. Alors il existeη1 tel que

(x6=x0et |x−x0|< η1)⇒ |f(x)−l|< . En particulierf(x)> l−. De mˆeme il existeη2tel que

(x6=x0 et|x−x0|< η1)⇒g(x)> A−l+ . Ainsi, siη= Inf(η₁, η₂) , on a

f(x) +g(x)> l−+A−l+=A .

— Le cas o`uf(x) et g(x) ont des limit´es infinies (de mˆeme signe) si xtend vers x<sub>0</sub> est enti`erement analogue. On pourra remarquer queA²> AsiA >1 .

— Supposons que la fonctionf admette une limite finie non nullelet que la fonctiongadmette une limite ´egale `a−∞(pour changer) lorsquextend versx0 . On a

∀ >0 , ∃η >0 ; (x6=x₀ et|x−x₀|< η)⇒ |f(x)−l|<

et

∀A >0 , ∃η >0 ;x6=x₀et |x−x₀|< η⇒g(x) <−A .

On va supposer quel est strictement positive (l’autre cas ´etant analogue. On a donc l−f(x)< l+

pourvu que x soit assez proche de x0 . Prenons alors = l/2 . De cette fa¸con, on sait que f(x)> l− > l/2>0 pour unη1>0 tel quex6=x0et|x−x0|< η1.De mˆeme on a unη2 pour lequel

x6=x0et |x−x0|< η2⇒g(x) <−2A l . Alors, siη= Inf(η1, η2) , on a

f(x)g(x)<−l 2

2A

l =−A .

— Le cas o`u les limites def et de gsont infinies lorsquextend versx0 est enti`erement analogue.

— Pour l’´etude du cas o`u l’on a un quotient, on remarquera qu’il suffit de v´erifier que, sig tend vers 0 lorsquextend versx0 , la fonction 1/g(x) tend vers l’infini (avec le signe deg). On a donc

∀ >0 , ∃η >0 ; (x6=x0 et |x−x0|< η)⇒ |g(x)|<

(avec 0<|g(x)|d`es que η est assez petit). SoitA >0 . Alors il existe η tel que (x6=x₀et |x−x₀|< η)⇒0<|g(x)|< 1

A d’o`u

A < 1

|g(x)| .

Si, par exemple,g(x) reste positive sur ]x0, x0+η[ , on en d´eduit que A < 1

g(x) .

Th´eor`eme 4. (passage `a la limite dans les in´egalit´es) Soientf etgdeux fonctions num´eriques d´efinies sur le mˆeme intervalle I . On suppose que

∀x∈I f(x)≤g(x).

On suppose que f etg admettent une limite not´ee respectivementl etl⁰ lorsquex tend versx0 . Alors on al≤l⁰ .

Quelques indications. On raisonne par l’absurde. Supposons que l⁰ < l . Posons alors= (l−l⁰)/2 . On a

l⁰−=l⁰−(l−l⁰)/2< l⁰< l⁰+= (l+l⁰)/2 =l− < l < l+ .

Donc il existe η₁ tel que |x−x₀| < η₁ ⇒ |f(x)−l| < soit f(x) > (l+l⁰)/2 . De mˆeme il existe η₂ tel que |x−x₀| < η₂ ⇒ |g(x)−l⁰| < soit g(x) < (l +l⁰)/2 . Ainsi, pour tous les x tels que

|x−x₀|< η= Inf(η₁, η₂) , on a

f(x)> g(x) ce qui est contraire `a l’hypoth`ese.

Remarque 1.12. Attention on peut avoirf(x)< g(x)maisl=l⁰ . Ainsi

|sinx|<|x| six6= 0 mais les deux limites en0 sont ´egales `a0 .

D´efinition 1.13. On dira que les fonctions f etg sont ´equivalentes au voisinage dex0 si et seulement si la limite def(x)/g(x)existe et vaut 1lorsquextend vers x0 .

2 Continuit´ e des fonctions num´ eriques de la variable r´ eelle.

D´efinition 2.1. Soitf une fonction num´eriques de la variable r´eelle x. On suppose que f est d´efinie sur un voisinage dex0 . On dit que f est continue en x0 si et seulement si f admet une limite lorsque xtend ersx0 et que cette limite estf(x0) =y0 .

D´efinition 2.2. Soitf une fonction num´erique de la variable r´eelle x . On suppose que f est d´efinie sur l’intervalle I . On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I . On note C(I;R) =C⁰(I;R)l’espace des fonctions continues surI .

Exemple 2.3. Toutes les fonctions polynomiales sont continues (d’apr`es les th´eor`emes sur les limites).

La fonction E(x)(partie enti`ere dex) est continue en tout point non entier. Elle n’est pas continue aux pointsx₀∈Z . Rappelons que

E(x) =n sin≤x < n+ 1 .

Th´eor`eme 5. Soitλun r´eel. Soientf etg deux fonctions num´eriques de la variable r´eellex.

— si f est continue enx0 alorsλf est continue enx0;

— si f est continue enx0 et sig est continue enx0 alorsf+g est continue enx0;

— si f est continue enx0 et sig est continue enx0 alorsf g est continue enx0;

— si f est continue enx0 , sig est continue enx0 etg(x0)6= 0alorsf /g est continue enx0;

— si f est continue enx0 et sig est continue eny0 o`uy0=f(x0)alorsg◦f est continue enx0; D´emonstration. Ces propri´et´es r´esultent imm´ediatement des r´esultats analogues sur les limites.

Corollaire 2.4. L’espace C(I;R) =C⁰(I;R)est un espace vectoriel r´eel.

Propri´et´es globales des fonctions continues

Th´eor`eme 6. Soitf une fonction continue sur l’intervalle ferm´e et born´e I = [a, b] (on parlera d’in- tervalle compact). Alors f est born´ee surI et atteint son maximum et son minimum.

(Indication de la) D´emonstration. On peut raisonner par l’absurde et par dichotomie. Sif n’est pas born´ee sur [a, b] , c’est qu’elle n’est pas born´ee sur (au moins) l’un des intervalles [a,^a+b₂ ] ou [^a+b₂ , b] . On construit ainsi deux suitesai et bi aveca0=aetb0=btelles queai est croissante, bi d´ecroissante, ai< bi etbi−ai=^b−a₂i . Elles sont donc adjacentes et ont une limite communec (´el´ement de [a, b] . Or f est continue encet donc doit ˆetre born´ee sur tout voisinage assez petit dec. Un tel voisinage contient [ai, bi] d`es que iest assez grand. C’est absurde puisquef n’y est pas born´ee par construction.

Remarque 2.5. Toutes les hypoth`eses sont utiles. La fonctionf d´efinie par f(0) = 0 et f(x) = ¹_x si x 6= 0 n’est pas born´ee sur [−1,1] ou sur [0,1] (elle n’est pas continue en 0). La fonction x n’est pas born´ee sur [0,+∞[ (l’intervalle n’´etant pas born´e). La fonction 1−x n’atteint pas sa borne inf´erieure sur [0,1[mais l’intervalle n’est pas ferm´e en 1 .

Th´eor`eme 7. Soitf une fonction continue sur l’intervalle I . Soient aet b deux points de I tels que f(a)f(b)<0 . Il existe c dans ]a, b[ tel que f(c) = 0 . Ainsi une fonction continue ne peut changer de signe sans s’annuler.

(Indication de la) D´emonstration. Il est facile de proc´eder par dichotomie. En effet soitf s’annule an

a+b

2 (et on a trouv´e un z´ero def) soit le signe de f ^a+b₂

est distinct de celui def(a) ou def(b) . On construit ainsi deux suitesa_i etb_iadjacentes telles quef(a_i)f(b_i)<0 . Elles ont une limite communec et f(c) doit ˆetre du signe def(a_i) puisquef(a_i) tend versf(c) et du signe de f(b_i) puisquef(b_i) tend versf(c) . Breff(c) = 0 .

Corollaire 2.6. (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) Soit f une fonction continue sur l’intervalle I de la droite r´eelle. Alors l’image deI parf est un intervalle.

(Indication de la) D´emonstration. Si f(a) < ξ < f(b) alors la fonction g(x) = f(x)−ξ (qui est continue sur [a, b] change de signe entreaetbdonc elle doit s’annuler.

Exemple 2.7. Si l’on reprend la fonction partie enti`ere, on voit qu’une fonction non continue ne satisfait pas le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

Th´eor`eme 8. Soitf une fonction continue et strictement monotone sur un intervalleI . Alorsf d´efinit une bijection de I sur f(I) . Sa bijection r´eciproque g =f⁻¹ est continue et monotone (avec le mˆeme sens de variation que f) def(I)surI .

D´emonstration. Commef est strictement monotone, elle est injective :

x6=y⇔x < yet x > y⇔f(x)< f(y) etf(x)> f(y)⇔f(x)6=f(y) ;

Comme f est continue, son image J =f(I) est un intervalle. On d´efinit ainsi une bijection de I dans f(I) = J . Consid´erons alorsg =f⁻¹ l’application r´eciproque. Si f est croissante (resp. d´ecroissante), alorsgest croissante (resp. d´ecroissante) :

x=g(y)< x⁰=g(y⁰)⇔y=f(x)< y⁰ =f(x⁰).

Il nous reste `a v´erifier quegest continue surJ =f(I) . Pour cela, nous supposeronsf croissante et nous nous ram`enerons `a la d´efinition. Soity0un point deJ =f(I) . On supposera quey0 est int´erieur `aJ (le cas o`uy0est une borne deJ est analogue mais plus simple). Posonsx0=g(y0) soit encorey0=f(x0) . Soit >0 quelconque. Nous cherchons `a d´eterminer desy pour lesquels|g(y)−g(y0)|< . Alors on a g(y0)− < g(y0) =x0 < g(y0) +soit f(g(y0)−)< f(x0) =y0 < f(g(y0) +) (en supposant que soit assez petit pour g(y0)−et g(y0) + appartiennent `a I). Introduisons alorsη un r´eel strictement positif tel que

f(g(y0)−)< y0−η < f(x0) =y0< y0+η < f(g(y0) +). Alors, siy0−η < y < y0+η , on a (par monotonie deg)

g(y₀)− < g(y₀−η)< g(y)< g(y₀+η)< g(y₀) + . Bref

|y−y₀|< η⇒ |g(y)−g(y₀)|< .

Remarque 2.8. Le graphe de la fonctiong s’obtient en effectuant la sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice du graphe de la fonctionf .

Quelques fonctions classiques.

On rappelle au pr´ealable que la fonctionx7→exp (x) est continue et strictement croissante deRdans R^+∗. Elle admet la fonctionx7→ln (x) comme application r´eciproque continue et strictement croissante de R^+∗ dansR . Cela permet de d´efinir l’un e de ces deux fonctions d`es que l’autre est d´efinie. Ainsi l’exponentielle est la r´eciproque de la primitive dex7→1/xqui vaut 0 en 1 . Mais le logarithme est aussi la r´eciproque de la fonction qui vaut 1 en 0 et est ´egale `a sa propre d´eriv´ee.

Exemple 2.9. Soit n un entier non nul. La fonction x 7→ xⁿ est d´efinie, continue et strictement croissante de[0,+∞[dans[0,+∞[. Elle y admet donc une fonction r´eciproque continue et strictement croissante. Elle est not´eey7→xⁿ¹ .

Exemple 2.10. La fonctionx7→sinxest continue et strictement croissante de[−^π₂,+^π₂]sur l’intervalle [−1,1]. On notex7→Arcsin(x)sa r´eciproque, d´efinie et continue sur [−1,1]`a valeurs dans[−<sup>π</sup><sub>2</sub>,+<sup>π</sup><sub>2</sub>]. Exemple 2.11. La fonctionx7→cosxest continue et strictement d´ecroissante de[0, π]sur l’intervalle [−1,1]. On notex7→Arccos(x)sa r´eciproque, d´efinie et continue sur [−1,1]`a valeurs dans[0, π] . Exemple 2.12. La fonctionx7→tanxest continue et strictement croissante de]−^π₂,+^π₂[sur R. On notex7→Arctan(x)sa r´eciproque, d´efinie et continue sur R`a valeurs dans]−^π₂,+^π₂[.

Exemple 2.13. On note shx la fonction sh(x) = ^ex−e₂^−x . On v´erifie que cette fonction est d´efinie et continue sur R , impaire et strictement croissante. On notera Argsh sa r´eciproque. Elle est d´efinie, continue, impaire et strictement croissante deRdansR .

Exemple 2.14. On note chx la fonction ch(x) = ^ex+e₂^−x . On v´erifie que cette fonction est d´efinie et continue `a valeurs dans[1,+∞[ , paire et strictement croissante sur l’intervalle[0,+∞[ . On notera Argchsa r´eciproque. Elle est d´efinie, continue, impaire et strictement croissante de[1,+∞[dans[0,+∞[

.

Exemple 2.15. On note thx la fonction th(x) = ^sh(x)_ch(x) . On v´erifie que cette fonction est d´efinie et continue sur R , impaire et strictement croissante `a valeurs dans ]−1,1[ . On note x7→ Argth(x)sa r´eciproque, d´efinie et continue sur ]−1,1[`a valeurs dansR .