Fonction Zˆ eta et th´ eor` eme des nombres premiers

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2011-2012 Module MM020

Th´ eorie des Nombres - TD6

Fonction Zˆ eta et th´ eor` eme des nombres premiers

Sauf mention explicite du contraire, les ´equivalents et les limites sont pris en +∞.

Exercice 1 : Montrer que Li(x) :=Rx 2

dt

logt ∼ _log^x_x. Exercice 2 :

a) On d´efinit Γ(s) :=R+∞

0 e^−tt^{s dt}_t.

i) Montrer que Γ est holomorphe sur Re (s)>0.

ii) Montrer que pour tout s∈C tel que Re (s)>0, on a Γ(s+ 1) =sΓ(s).

iii) Montrer que Γ se prolonge en une fonction m´eromorphe sur C. On admet que celle-ci ne s’annule pas.

iv) Calculer Γ(n), pour n≥1 entier.

v) Montrer que si Re (s)>1, alors ζ(s) = _Γ(s)¹ R+∞

0 t^s e^t−1dt

t.

b) Soitf une fonctionC^∞surR⁺`a d´ecroissance rapide `a l’infini. On d´efinitL(f, s) := _Γ(s)¹ R+∞

0 f(t)t^{s dt}_t pour Re (s)>0.

i) Montrer queL(f, .) admet un prolongement holomorphe `aC tout entier.

ii) Montrer que pour tout n∈N, on a L(f,−n) = (−1)ⁿf⁽ⁿ⁾(0).

c) On d´efinit les nombres de Bernoulli (B_n)n∈N par le d´eveloppement de Taylor de la fonction f₀ :t7→ _et−1^t en 0 : on ´ecrit ce d´eveloppement P

n≥0B_n^t_n!ⁿ.

i) Montrer queζ(s) = _s−1¹ L(f₀, s−1) pour tout s∈C tel que Re (s)>1.

ii) Montrer queζ a un prolongement m´eromorphe `aC, avec un unique pˆole, qui est simple de r´esidu 1, en s= 1.

iii) Montrer que pour toutn∈N,ζ(−n) = (−1)^{n B}_n+1ⁿ⁺¹ (en particulier, ζ(−n)∈Q).

d) On d´efinit la fonctionF(z) := ¹_z +P+∞

n=1

1

z+n+_z−n¹

.

i) Montrer que F est une fonction m´eromorphe sur C, avec des pˆoles simples de r´esidu 1 en les entiers. Montrer ´egalement queF est impaire et 1-p´eriodique.

ii) On note G(s) :=F(z)−πcotan(πz). Montrer que la fonctionG est born´ee sur l’ensemble des s∈C tels que|Re (z)| ≤ ¹₂ et Im (z)≥1.

iii) En d´eduire que Gest la fonction nulle sur C.

iv) En d´eduire que pour tout k ≥ 1, on a ζ(2k) = −¹₂B_2k^(2iπ)_(2k)!^2k (en particulier, ζ(2k) est un multiple rationnel de π^2k).

Exercice 3 : L’objectif de cet exercice est de montrer la forme faible du th´eor`eme des nombres premiers qui affirme qu’il existe deux constantes A, B > 0 telles que pour tout x > 0 suffisamment grand,

A x

logx ≤π(x)≤B x logx,

et d’expliciter les constantes A etB. On rappelle que la fonction Λ :N^∗ →R est d´efinie par Λ(n) = log(p) si n=p^k,p premier, et Λ(n) = 0 sinon.

a) On pose T(x) :=P

n≥1Λ(n)E(^x_n). Montrer que T(x) =P

n≤xlog(n).

1

b) En d´eduire que T(x) =xlog(x)−x+O(logx).

c) Montrer que T(x)−2T(^x₂)≤π(x) log(x).

d) Montrer que l’on peut prendre pour A tout r´eel<log 2.

e) Montrer que T(x)−2T(^x₂)≥log(^x₂) π(x)−π(^x₂) . f) En d´eduire que π(x)≤2 log(2)Plog₂(x)

k=1

x/2^k

log(x/2^k)+O(logx).

g) En d´ecomposant la somme pr´ec´edente enk≤ ₁₀¹ log₂(x) etk > ₁₀¹ log₂(x), montrer que l’on peut prendre pour B tout r´eel> ²⁰₉ log(2).

h) En raffinant ces methodes, on peut pr´eciser ce r´esultat avecA∼0,921 etB ∼1,105. Utiliser ce r´esultat pour en d´eduire le postulat de Bertrand (asymptotique) : pour toutn≥1 suffisamment grand, il existe un nombre premier p tel quen < p≤2n.

Exercice 4 : On souhaite d´emontrer directement le postulat de Bertrand, `a savoir : pour toutn≥1, il existe un nombre premierptel quen < p≤2n.

a) Montrer que ²ⁿ_n

≥ ⁴_2nⁿ.

b) On veut montrer que pour tout r´eel x≥2, on a Q

p≤xp≤4^x−1.

i) Montrer qu’il suffit de le montrer pourx=qpremier. On va alors le montrer par r´ecurrence sur q.

ii) Montrer que siq = 2m+ 1, on a Q

p≤m+1p≤4^m etQ

m+1<p≤2m+1p≤ ^2m+1_m . iii) Montrer que ^2m+1_m

≤4^m. iv) Conclure.

c) Montrer que la valuationp-adique de ²ⁿ_n

vaut P

k≥1

E(²ⁿ_pk)−2E(_pⁿk) . d) Montrer que pour tout n,p,k,E(²ⁿ_pk)−2E(_pⁿk) = 0 ou 1.

e) Montrer que la valuationp-adique de ²ⁿ_n

est inf´erieure ou ´egale `a max{r :p^r≤2n}.

f) Montrer que sin≥3, ²ⁿ_n

n’est divisible par aucun nombre premier p tel que ²₃n < p≤n.

g) Montrer que ²ⁿ_n

≤(2n)

√2n−1Q_√

2n<p≤²₃npQ

n<p≤2np.

h) On suppose que pour un entier n≥2, il n’existe pas de nombre premierp tel que n < p≤2n.

Montrer que ²ⁿ_n

≤(2n)

√2n−14²ⁿ³ .

i) En d´eduire qu’un tel nest major´e par une constante explicite.

j) Conclure.

Exercice 5 : Soita, b, x1, . . . , xndes r´eels tels quea≤x1 <· · ·< xn≤b. Soientα(x1), . . . , α(xn)∈C.

On poseA(x) :=P

xi≤xα(x_i), poura≤x≤b. Soit f : [a, b]→Cune fonction de classe C¹. Alors

n

X

i=1

α(x_i)f(x_i) =A(b)f(b)− Z b

a

A(x)f⁰(x)dx .

Exercice 6 :

a) Montrer que le th´eor`eme des nombres premiers implique quepn ∼nlog(n). De mˆeme, montrer qu’il implique que θ(x) :=P

p≤xlog(p)∼x.

b) Si d_n:=p_n+1−p_n, montrer queP

n≤x dn

logn ∼x.

c) Montrer que lim inf _log(n)^dn ≤1≤lim sup_log^dn_n.

d) Montrer que l’ensemble des quotients de deux nombres premiers est dense dansR⁺. 2

e) Montrer les formules suivantes : P

p≤x log(p)

p ∼log(x) et P

p≤x 1

p ∼log(log(x)).

f) Montrer que le th´eor`eme des nombres premiers implique que pour toutλ >1, on aπ(λx)−π(x)∼ (λ−1)_log(x)^x .

En d´eduire que pour tout λ > 1, il existe x(λ) ∈ R⁺ tel que pour tout x ≥ x(λ), l’intervalle ]x;λx] contienne un nombre premier.

Exercice 7 : On souhaite montrer que le th´eor`eme des nombres premiers implique la non-annulation deζ sur la droite Re (s) = 1.

a) On note ζ_P(s) := P

p 1

p^s. Montrer que la fonction f(s) := log(ζ(s))−ζ_P(s) (d´efinie pour s ∈ ]1; +∞[) s’´etend en une fonction holomorphe sur Re (s)> ¹₂.

b) Soitt >0. Montrer que les trois assertions suivantes sont ´equivalentes : i) ζ(1 +it)6= 0.

ii) ζ_P se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de 1 +it.

iii) ζ_P(σ+it) = o(log(σ−1)) quand σ→1⁺. c) Montrer que pour Re (s)>1, on aζ_P(s) =P∞

n=1π(n) (n^−s−(n+ 1)^−s).

d) Montrer qu’il existe une fonction holomorphe sur Re (s) > 0, not´ee δ, telle que pour tout s, si Re (s)>1, on aζ_P(s) =sP

n≥1 π(n)

n n^−s+δ(s).

e) Montrer que dans la question b), on peut remplacer ζ_P par Π :s7→P

n≥1 π(n)

n n^−s. f) Soit une s´erie de Dirichlet `a coefficients strictement positifs g(s) = P

n≥1ann^−s. On suppose que g a une abscisse de convergence absolue not´ee σ₀, et que g(σ₀) diverge. Soit ´egalement h(s) =P

n≥1bnn^−s, avecbn∼an. Montrer que l’abscisse de convergence absolue deh est aussi σ0 et que |g(s)−h(s)|= o(g(Re (s))) quand Re (s)→σ0.

g) On pose h(s) :=P

n≥2 1

lognn^−s. Montrer que h⁰(s) = 1−ζ(s) pour Re (s) > 1, et que h(σ) ∼

−log(σ−1) quand σ→1⁺.

h) Montrer que |Π(s)−h(s)|= o(log(Re (s)−1)) quand Re (s)→1⁺. i) Montrer que pourt >0,|Π(σ+it)|= o(log(σ−1)) quand σ→1⁺. j) Conclure que ζ ne s’annule pas sur la droite Re (s) = 1.

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