Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1
Ann´ee 2013-2014 Module 4M020
Th´ eorie des Nombres - TD5 Autour du th´ eor` eme de Minkowski
Exercice 1 : Soit kun corps et E un k-espace vectoriel de dimension finien. Soit u∈L(E).
a) Montrer que u munitE d’une structure canonique dek[X]-module.
b) Montrer qu’il existe une k-base de E dans laquelle la matrice de u est de la forme
C(P1) . . . 0 . ..
0 . . . C(Pr)
o`uPi ∈k[X] tels que Pi|Pi+1 (et C(P) est la matrice compagnon associ´ee `a P).
c) Montrer que lesPi de la question pr´ec´edente sont uniques (appel´es facteurs invariants de u) et donner une formule pour les calculer.
d) Montrer que deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont mˆemes facteurs invariants.
e) Montrer que si le polynˆome caract´eristique deu est scind´e (i.e. si u est trigonalisable), alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est form´ee de blocs diagonaux de la forme suivante (appel´ee forme de Jordan de u) :
λ 1 0 . . . 0 0 λ 1 . . . 0 0 0 . .. ... 0 0 . . . λ 1 0 . . . 0 λ
.
f) Montrer qu’une matrice `a coefficients dans k est semblable `a sa transpos´ee. Montrer que ce r´esultat est faux pour des matrices `a coefficients dans Z.
g) SoientA, B∈Mn(k) etK/kune extension de corps. On supposeAetBsemblables dansMn(K).
MontrerA etB sont semblables surk.
h) Calculer les invariants de similitude et les formes de Jordan des matrices
A=
3 2 −5 2 6 −10 1 2 −3
etB =
1 1 0
−1 1 1
2 −2 −2
.
Exercice 2 : Soit Aun anneau principal, u:An→Anun endomorphisme de A-modules.
a) Montrer que det(u)6= 0 si et seulement si u est injectif.
b) Montrer que si det(u) 6= 0, alors #Coker(u) = |det(u)| (si A = Z) ou dimkCoker(u) = deg(det(u)) (siA=k[X]).
Exercice 3 : Combien y a-t-il de groupes ab´eliens d’ordren`a isomorphisme pr`es ? Donner tous ces groupes pourn= 12,60,64,100.
Exercice 4 : Donner la forme normale de Smith des matrices suivantes surZ : 2 4
4 11
,
69 −153 12 −27
,
12 −6 2
75 −41 13
19 −3 3
.
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Exercice 5 : On consid`ere l’ensemble R:=
(a, b, c)∈Z3 :a≡b[5] et b≡a+c[2] .
Montrer queR est un r´eseau deR3, calculer son covolume et donner une base de R.
Exercice 6 : Soit n≥1. On note Vn le volume de la boule unit´e de Rn. a) Soitq une forme quadratique r´eelle de rangn d´efinie positive. On note
Bq(R) :=
x∈Rn:q(x)≤R2 . Montrer que
Vol(Bq(R)) = Vn
pdisc(q)Rn.
b) Soit q une forme quadratique r´eelle de rang n d´efinie positive et Λ un r´eseau de Rn. Montrer qu’il existe v∈Λ\ {0} tel que
q(v)≤ 4disc(q)n1 V
2
nn
Covol(Λ)n2 .
c) Montrer que l’on peut d´efinir la constante d’Hermiteγn par γn= sup
qf.q. d´ef. pos.
x∈Zinfn\{0}
q(x) disc(q)n1 . d) V´erifier que γ1 = 1.
e) On dit que deux formes quadratiques de rangnd´efinies positivesqetq0 sont GLn(Z) ´equivalentes s’il existeA∈GLn(Z) telle que q0 =q◦A. Montrer que dans ce cas, on a
x∈Zinfn\{0}q(x) = inf
x∈Zn\{0}q0(x).
On dit qu’elles sont Hermite-´equivalentes s’il existe A ∈GLn(Z) etλ > 0 tels que q0 =λq◦A.
Montrer que dans ce cas, on a
x∈Zinfn\{0}
q(x)
disc(q)n1 = inf
x∈Zn\{0}
q0(x) disc(q0)n1 .
f) Soit q(x, y) = ax2+bxy+cy2 une forme quadratique r´eelle d´efinie positive. Soit (x0, y0) ∈ Z2 premiers entre eux. On noteM :=q(x0, y0). Montrer qu’il existed, e∈Rtels queq soit GL2(Z)-
´equivalente `aq0(x, y) :=M x2+dxy+ey2 et−M < d≤M.
g) Avec les notations de la question pr´ec´edente, montrer que infx∈Z2\{0} q(x)
disc(q)12
≤ √2
3, avec ´egalit´e si et seulement siq est Hermite-´equivalente `ax2+xy+y2.
h) Conclure queγ2= √2
3 et comparer avec le th´eor`eme de Minkowski.
i) Soit q une forme quadratique r´eelle de rang n d´efinie positive. Montrer que l’on peut suppo- ser que q atteint son minimum (not´e m) sur Zn\ {0} en (1,0, . . . ,0). Montrer que l’on peut alors supposer que q(x1, . . . , xn) = mx21 +q0(x2, . . . , xn). Montrer ensuite par r´ecurrence que infx∈Zn\{0} q(x)
disc(q)1n
≤ 43n−12
disc(q)n1. j) Montrer que γn ≤ 43n−12
. Comparer cette estimation avec celle donn´ee par le th´eor`eme de Minkowski pour de petites et de grandes valeurs den.
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Exercice 7 : Soientn, d∈Z. On souhaite montrer qu’il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isomor- phismes de r´eseaux entiers (i.e. tels quex.y∈Zpour toutx, ydans le r´eseau) de rangnet d´eterminant d.
a) Montrer le r´esultat pour n= 1.
b) Montrer qu’il existe une constante c(n, d) > 0 telle que pour tout r´eseau Λ de rang n et d´eterminantd, il existex∈Λ tel que 0<kxk< c(n, d).
c) Soit Λ un tel r´eseau et x ∈ Λ comme dans la question b). On d´efinit Λx := {y∈Λ :x.x|x.y}.
Montrer que Λx est un sous-r´eseau de Λ et que [Λ : Λx]≤c(n, d)2. d) V´erifier que Λx =Zx⊕(Zx)⊥ (o`u l’orthogonal est pris dans Λ).
e) En d´eduire que Λ0 := (Zx)⊥ est un r´eseau de rang n−1 et de d´eterminant≤c(n, d)2d.
f) Conclure par r´ecurrence sur n.
Exercice 8 : Soit r >0 et R∈N∗. On se trouve au centreO d’une forˆet circulaire de rayonR. Les arbres, de rayonr, sont dispos´es sur les sommets d’un r´eseau carr´e de cˆot´e 1 centr´e en O (sauf en O lui-mˆeme). On supposer > R1.
Montrer que l’on ne peut pas apercevoir l’ext´erieur de la forˆet.
Exercice 9 : Soit α∈R.
Montrer que pour toutn≥2, il existe p, q∈Ztels que 1≤q < net
α−p q
≤ 1 qn.
G´en´eraliser `aα1, . . . , αr∈R : il existep1, . . . , pr, q∈Z tels que 1≤q < net pour touti,
αi−pi q
≤ 1 qn1r .
Exercice 10 : Soit P ⊂R2 un polygone non crois´e dont les sommets ont des coordonn´ees enti`eres.
On noteI le nombre de points deZ2 `a l’int´erieur deP etF le nombre de points deZ2 sur la fronti`ere
∂P deP.
a) On appelle ”triangle fin” un triangle non aplati dont les sommets sont `a coordonn´ees enti`eres et qui ne poss`ede pas de point entier dans son int´erieur, ni sur sa fronti`ere. Montrer que l’aire d’un tel triangle est au moins 12.
b) Soit T un triangle fin dont un sommet est l’origine O. En collant trois images de T par des isom´etries au triangleT, fabriquer un triangle T0 homoth´etique `a T et `a sommets entiers, puis un parall´elogramme entier Q `a partir de T0. En appliquant le th´eor`eme de Minkowski `a Q, montrer que l’aire deT est exactement 12.
c) Montrer le th´eor`eme de Pick :
Aire(P) =I +F 2 −1.
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